Beweisen, dass die summe S+T ein linearer Unterraum ist.

Question

Sein S,T ⊂ K^p  zwei lineare Unterräume.  

Ich muss beweisen, dass die Summe von S und T ,

S+T := {x+y | x ∈ S und y ∈ T}

ein linearer Unterraum von K^p ist.

Ich würde mich sehr freuen wenn jemand mir hilfen könnte.

Answer 1

Zeige dass S+T ≠ ∅ ist.

Seien p, q ∈ S+T. Zeige dass p+q ∈ S+T ist.

Sei v ∈ S+T und k ∈ K. Zeige dass k·v ∈ S+T ist.

Comments

Ja, Ich weiß die 3 Bedingungen, aber weiß nicht wie das für  mein Beispiel aussehen müssen.. Das ist ganz neu für mich. Trotzdem danke!

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Es ist 0 ∈ S und 0 ∈ T weil S und T lineare Unterräume sind. Also 0+0 ∈ S+T. Also ist S+T ≠ ∅.

Seien a,b ∈ S+T. Ferner seien s_a,s_b ∈ S und t_a,t_b ∈ T so dass

        s_a + t_a = a und

        s_b + t_b = b.

Solche s_a,s_b,t_a,t_b existieren aufgrund der Definition von S+T. Dann ist

        a + b = (s_a + t_a) + (s_b + t_b) = (s_a + s_b) + (t_a + t_b)

wegen Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in K^p.

Es ist (s_a + s_b) ∈ S, weil S ein linearer Unterraum ist und (t_a + t_b) ∈ T weil T ein linerarer Unterraum ist. Also ist a + b = (s_a + s_b) + (t_a + t_b) ∈ S+T.

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Jaa, jetzt habe ich alles verstanden. :)