Wie hab ich mir den Span von {I(n), A, A^2, A^3... A^n} vorzustellen?

Question

Es geht hier darum zu beweisen, dass A^k in dem oben definierten Span liegt, jedoch kann ich mir kaum  was unter diesem Raum vorstellen.

Answer 1

Der Spann besteht aus allen Linearkombinationen der angegebenen Matrizen, also aus allen Matrizen der Form $$\alpha_0I+\alpha_1A+\cdots+\alpha_{n-1}A^{n-1}\quad\text{mit$\quad\alpha_k\in\mathbb{C}$.}$$ Eine geometrische Interpretation dazu sehe ich nicht. Wozu auch? Das ist Algebra und nicht Geometrie.

Die Behauptung, dass $$A^n=\alpha_0I+\alpha_1A+\cdots+\alpha_{n-1}A^{n-1}$$ ist für passende \(\alpha_k\), folgt aus dem Satz von Cayley.

Answer 2

     Nimm doch mal alle Potenzen her




        A  ^  0  :=  1|  ;  A  ^  1  ;  A  ²  ;  A  ³  ;  A  ^  4   ...       (  1  )




    Bilden diese einen unendlich dimensionalen Vektorraum? An dieser Stelle führe ich die ===> Diracsche ===> Bracketnotation ein; im Grunde ist diese ganz einfach. Ein " Bra " ist ein Zeilen-und ein " Ket " ein Spaltenvektor. Alle Kombinationen sind erlaubt, so lange sie den Regeln der Matrizenmultiplikation entsprechen. | i > ist also ein n X 1 Ket, der an Stelle i eine Eins stehen hat; sonst Nullen. Umgekehrt ist < j |  ein 1 X n Bra, dessen j Komponente Eins ist, sonst nur Nullen. Somit ist




        |  i  >  <  j  |         (  2  )


    eine Matrix ( " Dyade " )  vom Format n X n mit einer Eins in Zeile i , Spalte j . Damit ist die Dimension von ( 1 ) begrenzt durch




       dim  [  |C  (  n  ;  n  )  ]  =  n  ²       (  3  )



   eine zu pessimistische Abschätzung. Denn die ===> Elementarteiler ( ET ) Teorie lehrt, dass jede Matrix ihre eigene Säkulardeterminante ( SD ) löst ( Hattet ihr überhaupt schon Eigenwerte? ) Bei einer diagonalisierbaren Matrix wäre das ja trivial; aber es gilt eben allgemein.
  Die SD stellt ein Polynom vom Grade n dar; größer kann daher die Dimension von ( 1 ) nicht sein. Ob sie kleiner ist? Hier stellt sich die Frage nach dem ===> Minimalpolynom einer Matrix, einem Begriff, der dir schon in der ===> (Polynom)algebra begegnet.

  1) Dass du nix raffst, ist kein Wunder, wenn du noch nie von ET vernommen hast.
  2) Du brauchst auch gar nicht so tun, als hättest du nur irgendwas verstanden; ich weiß es besser.
  3) ET sind so schwer, dass die meisten deiner Kommilitonen es ihr Leben lang nie begreifen werden; siehe Kowalsky oder Greub , Bd. 2 .
  4) WENN du aber die Sache mit den ET gerafft hast. Was soll dir dann noch diese Aufgabe?

Comments

  Gast 2244 ist schon ein merkwürdiger Zeitgenosse; ganz offenbar hat er die Hauptsache bei den ET nicht verstanden. Wie in der gewöhnlichen Algebra gehst du aus von dem MINIMALPOLYNOM einer Matrix A ( und nicht ihrer SD ! ) Die Linearfaktoren dieses Minimalpolynoms heißen ET ; und die Nullstellen des Minimalpolynoms sind genau die Eigenwerte von A .
  Den Kern eines gegebenen ET bezeichnet man als den zu dem entsprechenden Eigenwert adjungierten Komponentenraum ( KR )  Bekanntlich ist die Zerlegung einer Matrix nach Eigenräumen nicht notwendig halbeinfach ( oder was das selbe ist; direkt ) Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar.
  Aber die Zerlegung nach KR ist es ===> Zerlegung der Eins . Und dies ist der anschauliche geometrische Sinn hinter dem Ganzen. Natürlich treiben wir hier Geometrie.