Question

Ist die Umordnung einer Nullfolge wieder eine Nullfolge und wie beweist man die Antwort?

Eine Folge {b_{n}} heißt Umordnung der Folge {a_{n}}, falls \( b _ { n } = a _ { \sigma ( n ) } \) gilt für eine Bikektion \( \sigma : \mathbb { N } \rightarrow \mathbb { N } \), das heißt eine Abbildung, sodass \( \sigma ( n ) \neq \sigma ( m ) \) für \( n \neq m \) gilt und zu jedem k ∈ ℕ ein n ∈ ℕ mit \( \sigma ( n ) = k \) existiert.

Answer 1

Voraussetzung: (an) ist eine Nullfolge
Sei (bk) eine Umordnung von (an). 

Behauptung (bk) ist auche eine Nullfolge. 

Beweis:

Sei E(psilon) = E> 0 gegeben.
Nach Definition gibt es ein no in N so dass für alle n≥no gilt: 
|an| < E.

Nun ist ein ko Element N zu finden, so dass für alle k≥ko gilt:
|bk| < E.

Da alle Glieder von (an) in auch in (bk) vorkommen, kommen insbesondere die ersten no Glieder von (an) in (bk) vor.
Nun schaue ich, welches dieser endlich vielen Glieder von (an) in (bk) den grössten Index hat und nehme diesen Index als ko. Nach ko kommen jetzt nur noch bk=an vor, die in (an) nach no auftraten. Deshalb gilt |bk| = |an| mit n≥no. Also |bk|=|an|<E für alle k≥ko

Somit ist ein ko gefunden, so dass für alle k≥ko gilt nun |bk| < E. qed.

Anmerkung: 'endlich' vielen Glieder: Das Wort endlich ist wichtig, da man bei endlichen Mengen von natürlichen Zahlen immer den grössten Wert bestimmen kann.