Welche Geschwindigkeit ist anzuordnen, um mit gegebenem Ölvorrat möglichst weit zu gelangen? (Extremwertaufgabe)

Question

Der Ölverbrauch E eines Passagierschiffes ist im Wesentlichen von seiner Geschwindigkeit v abhängig.

Es gilt die Formel:

E(v) = av³ + b (E in t/h, v in km/h).

a) Welche Geschwindigkeit v hat der Schiffskapitän anzuordnen, um mit einem gegebenen Ölvorrat m möglichst weit zu gelangen? (a = 10^-3th²km^-3, b = 2th^-1)

b) Wie lang ist die maximale mögliche Fahrtstrecke s für m = 1000 t Ölvorrat und wie lange dauert dann diese Reise?

Comments

Mit den Werten für a und b eingesetzt ergibt sich als 1.Ableitung

Extremwert : zu 0 setzen.
Zähler = 0 bei v^3 = 1000
v = 10 km / h

Answer 1

E gibt wohl die Masse m des verbrauchten Öls (in Tonnen) pro Zeit t (in Stunden) an. Also:

$$ \frac{m}{ t} = av^{3} + b \Rightarrow t = \frac{m}{av^{3}+b} $$

Strecke s (in Kilometern) berechnet sich aus Geschwindigkeit v (in km/h) mal Zeit t:

$$ s = v t $$

Term für t einsetzen:

$$ s(v) = \frac{vm}{av^{3}+b} $$

Jetzt hat man die Strecke in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit (Variable) und den Parametern m, a und b. Ableiten und Extremwerte bestimmen.

Hilft das?

 

Answer 2

Das Schiff hat einen gewissen Ölvorrat von m
( Masse in Tonnen )
Jetzt fährt das Schiff mit einer Geschwindigkeit von v los.

Der Verbrauch ist in Abhängigkeit von v
E ( v ) = a * v^3 + b  ( E in Tonnen pro Stunde )
Die Zeit t für die der Ölvorrat reicht ist
E * t = m ( Verbrauch * Zeit = Masse )
umgestellt
t = m / E

Die Strecke ist t * v
s = v * t
umgesellt nach t
t = m / E
und t eingesetzt
s = v * m / E

E eingesetzt
s ( v ) = v * m / ( a * v^3 + b )
s ( v ) = v * m / ( 10 * v^3 + 2 )
Das Maximum von s ist gesucht
1.Ableitung
s ´( v ) = m * ( b - 2av^3 ) / (av^3 + b) ^2

m * ( b - 2av^3 ) / (av^3 + b) ^2 = 0
Zähler = 0 bei
b - 2av^3 = 0
v = ³√ ( b / (2a) )

a =. 0.01
b = 2

v = 4.64 km/ h
realistisch ?

b.)
m = 1000 to
s ( v ) = 4.64 * 1000 / ( 0.01 * (4.64)^3 + 2 )
s ( 4.64 ) = 1547 km
Das Ganze ist noch nicht realistisch.
Fehler meinerseits ? Einheiten ?
Denkfehler ?
Da muß ich später noch einmal dran.

PS.
Ich sehe gerade, der andere Antwortgeber
hat daselbe heraus;
s ( v ) = v * m / ( av^3 + b )

Comments

georgborn hatte 2016 bereits die richtige Lösung von 10 km/h hingeschrieben.

Damit ergibt sich eine maximale Fahrstrecke von ca. 3333 km für 1000 t Öl. Ich habe das gerade nachgerechnet.

Answer 3

Herleitungen der Formel v = (b/(2·a))^(1/3) stimmt soweit. Setzt man jetzt ein erhält man das Ergebnis von georgborn mit 10 km/h

Setzt man jetzt alles in die Formel for die Strecke ein ergibt sich eine Maximale Strecke von 3333 km für 1000 t Öl.

Hier die Rechnung

E = m/t = a·v^3 + b → t = m/(a·v^3 + b)

s = v·t
s = v·m/(a·v^3 + b)
s' = m·(b - 2·a·v^3)/(a·v^3 + b)^2 = 0 → v = (b/(2·a))^(1/3)

v = (b/(2·a))^(1/3)
v = ((2 t/h)/(2·(10^(-3) t·h^2/(km)^3)))^(1/3) = 10 km/h

s = v·m/(a·v^3 + b)
s = (10 km/h)·(1000 t)/((10^(-3) t·h^2/(km)^3)·(10 km/h)^3 + (2 t/h)) = 3333 km

Comments

Ich schaue mir jetzt schon lange die Augen
aus, kann meinen Fehler aber nicht finden
v = (b/(2·a))^(1/3)
v = (2 / ( 2 *0.01) ) ^1/3
v = ( 100 )^(1/3)
v = 4.64 km/h

Wo steckt der Fehler ?

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a = 10^(-3) ... 0.001 oder nicht

Einheiten habe ich jetzt aus Vereinfachungsgründen weggelassen.

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Dann passt alles. Danke.