Beweis: Eine konvergente Folge hat Min oder Max.

Question

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge ein Minimum oder ein Maximum besitzt.

Answer 1

Ein möglicher Beweis wäre:

Sei a_n konvergent mit Grenzwert a.

Gibt es ein e größer Null so, dass mindestens ein Folgenglied größer als a+e ist, so gibt es eine nicht leere, endliche Menge von Folgengliedern oberhalb von a+e. Diese hat ein Maximum, das auch Maximum von a_n ist.

Analog gilt: Gibt es ein e größer Null so, dass mindestens ein Folgenglied kleiner als a-e ist, so gibt es eine nicht leere, endliche Menge von Folgengliedern unterhalb von a-e. Diese hat ein Minimum, das auch Minimum von a_n ist.

Gibt es kein e größer Null so, dass mindestens ein Folgenglied außerhalb der e-Umgebung von a liegt, dann ist a_n konstant mit a_n = a und a ist sowohl Maximum als auch Minimum von a_n.