Kugel im R^3 nachweisen . x^2 +y^2+z^2-6x+4y-2z=1

Question

Hallo ich soll zeigen dass diese Gleichung :

x^2 +y^2+z^2-6x+4y-2z=1 eine Kugel im ℝ^3 beschreibt , und man soll den Mittelpunkt bestimmen .

Die Kugel -Gleichung für ℝ^3 lautet doch x^2 +y^2+z^2=r^2 ; Dann wird r wohl 1 sein .

aber was macht man mit den linearen Termen -6x ,+4y,-2z wie weist man da nach das Hier eine Kugel vorliegt?

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Ein schönes kostenloses Programm hierfür ist Microsoft Mathematics (64-Bit):

x^2+y^2+z^2-6*x+4*y-2*z=1 ergibt

kann man schön räumlich drehen...

Nur die (Halb-)Kugelränder sind etwas ausgefranzt.

Answer 1

x² +y²+z²=r²

Diese Kugel hat das Zentrum im Ursprung. Du kannst den Mittelpunkt M(a,b,c) folgendermassen einfügen:

(x-a)² +(y-b)²+(z-b)²=r²

Nun machst du quadratische Ergänzungen, so dass die linearen Terme in den Klammern verschwinden.

Versuche das mal.

x^2 +y^2+z^2-6x+4y-2z=1

Zur Erinnerung:

Den Radius kannst übrigens du erst zum Schluss richtig ablesen. Er ist nicht 1.

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Hallo lu ,

für (x^2-6x) =(x-3)^2 -9

für (y^2+4y) =(y+2)^2 -4

für (z^2-2z)= (z-1)^2 -1 .

dann ergibt sich doch (x-3)^2 +(y+2)^2 +(z-1)^2 -14=1

also (x-3)^2 +(y+2)^2 +(z-1)^2 =15 .

Dann ist der radius wohl √15 .

und der Mittelpunkt M=(3,-2,1)

Stimmt das ?

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Ja genau. Das kommt hin.

Vgl. auch https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%2By%5E2%2Bz%5E2-6x%2B4y-2z%3D1

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Ok cool.
verstehe ich das richtig das die Mittelpunktskoordinaten beliebige Zahlen aus ℝ sein können aber keine linearfaktoren zb 6x 4y 2z usw , sodass ich die dann wegbringen muss mittels quadratischer ergänzung usw ..
sodass nur mehr reelle Zahlen als MP . Koordinaten bleiben?

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Richtig.

Wenn du zufälligerweise rechts eine negative Zahl als r^2 bekommst, dann handelt es sich schlicht nicht um die Gleichung einer rellen Kugel.