Gegeben ist die Ebene E: x + 2y + 2z =18. Suche kleinste Kugel, welche E berührt und durch den Nullpunkt geht.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene E: x + 2y + 2z =18.

Gesucht ist die Kugel mit dem kleinstmöglichen Radius,  welche E berührt  und durch den Nullpunkt geht.

Answer 1

Ich würde eine Gerade durch den Ursprung legen der als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene hat.

g: [0, 0, 0] + r * [1, 2, 2] = [r, 2·r, 2·r]

Nun bildet man den Schnittpunkt mit der Ebene

x + 2y + 2z = 18
(r) + 2(2r) + 2(2r) = 18
r = 2

Schnittpunkt ist also [r, 2·r, 2·r] = [2, 4, 4]

Mittelpunkt des Kreises liegt genau zwischen diesem Punkt und dem Ursprunk bei [1, 2, 2].

Der Radius der Kugel ist genau der Abstand vom Mittelpunkt zum Ursprung also √(1^2 + 2^2 + 2^2) = 3

Damit lautet die Gleichung der Kugel

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 9

Answer 2

Gegeben ist die Ebene E: x + 2y + 2z =18. Suche kleinste Kugel, welche E berührt und durch den Nullpunkt geht.

Alternative Lösungmöglichkeit via Hessesche Normalform (HNF).

E: x + 2y + 2z - 18 = 0

            |HNF machen : √(1+4+4) = 3

HNF(E) = (x+2y+2z)/3 - 6 

(x,y,z)= (0,0,0) einsetzen. Betrag davon: 6 ist der Abstand Nullpunkt - Ebene. Resp. Nullpunkt - Tangentialebene.

Der Radius der Kugel muss 3 sein.

Ihr Mittelpunkt im Abstand 3 von O(0/0/0) auf 

g: r = t(1/2/2)  aus geometrischen Gründen im ersten Oktanten. [Anmerkung: fett: Vektorpfeil ergänzen resp. Vektor vertekal schreiben)

Da (1/2/2) gerade die Länge 3 hat, ist t=1. Also M(1/2/2)

Kugelgleichung: (x-1)^2 + (y-2)^2 +  (z-2)^2 = 3^2 = 9