Kugelgleichungen beschreiben Punktmengen.
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r12
(x-p)2 + (y-q)2 + (z-s)2 = r22
Punkte auf beiden Kugeloberflächen erfüllen beide Gleichungen gleichzeitig.
Da beide Gleichungen x2 + y2 + z2 enthalten, fliegt der quadratische Teil der Gleichungen bei Subtraktion raus.
Es bleibt eine Gleichung, die x,y,z nur noch linear enthält. Das ist eine Ebenengleichung. Diese Ebene enthält alle Punkte auf dem gesuchten Kreis.
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r_(1)2 (I)
(x-p)2 + (y-q)2 + (z-s)2 = r_(2)2 (II)
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(x2 - 2ax + a2) + (y2 - 2by + b2) + (z2 - 2cz + c2) = r_(1)2 (I)
(x2- 2px + p2) + (y2 - 2qy + q2) + (z2 - 2sz + s2) = r_(2)2 (II)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- (I) - (II)
(2p - 2a)x + a2 - p2 + (2q - 2b)y + b2 - q2 + (2s - 2c)z + c2 - s2 = r12 - r22
(2p - 2a)x + (2q - 2b)y + (2s - 2c)z = r12 - r22 - a2 + p2 - b2 + q2 - c2 + s2
Das ist die Gleichung der Schnittebene.
