wie bestimmt man eine funktionsgleichung der funktion f?

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 3 verläuft durch den Ursprung O(0/0) und hat im Wendepunkt W(2/2) die Steigung -3. Wie lässt sich am Graphen erkennen, dass der Punkt W(2/2) ein Wendepunkt ist?1) Bestimmen sie rechnerisch nach, dass die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f.2) Weisen sie rechnerisch nach, dass die Extrempunkte des Graphen von f punktsymmetrisch zum Wendepunkt W liegen.

Comments

Bitte mal die Quelle der Aufgabe nennen, danke!

---

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
f ´( x ) = 3*a*x^2 + 2*b*x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

f ( 0 ) = 0
f ( 2 ) = 2
f ´´ ( 2 ) = 0
f ´( 2 ) = -3

Eingesetzt ergeben sich 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.

Answer 1

Hi!

Die Funktion f lautet ja:

f(x)= x³ -6x²+9x

Hier ist der Graph:

~plot~ x^3 -6x^2+9x ; [[-2| 7 | -2 | 7 ]] ~plot~

Den Wendepunkt erkennt man daran dass in ihm die Steigung des Graphen am extremsten ist.

Bei einem Polynom dritten Grades liegt der Wendepunkt übrigens genau in der Mitte der Strecke zwischen beiden Extrema (wenn welche vorhanden sind).

2.)

Kriterium für Punktsymmetrie:

Abstand Extrema Wendepunkt:

x_w-x_Tp  = x_HP -x_W

Einsetzen:

2-3=1-2    ✓

stimmt