Ring der Gaußschen Zahlen

Question

Ich muss zeigen, dass ℤ² zusammen mit der Addition und der Multiplikation

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

(a,b) . (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

zu einem kommutativen Ring mit 1 wird. Dieser heißt Ring der Gaußschen Zahlen ℤ[i]

Also ich frage mich auch, weil es (ac - bd) statt (ac+bd) steht? Vielleicht ist es Falsch gegeben.

Answer 1

Dieser Ring ist eine Verallgemeinerung der Komplexen Zahlen. Die Regel der Multiplikation ist eben genau jene, wegen i*i = i² = -1.

Comments

Ok also, wie muss ich das zeigen?

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Du musst die Ringaxiome aus deiner Vorlesung verwenden, und nachprüfen ob diese bei beliebigen Elementen z₁, z_2, z₃ erfüllt sind.

Neutrale und inverse Elemente, Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetz, ...

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Ja ich weiß schon was ich machen soll, steht auch in der Hinweise , aber ich weiß nicht genau wie, deshalb schreibe ich hier. Anyway, danke.

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Ist es wirklich eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen? Die komplexen Zahlen bilden einen Körper, \( \mathbb{Z}[i] \) aber ist nur ein Ring.

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Ja genau. Ich muss dazu zeigen, dass + und · assoziativ, distributiv und kommutativ sind, neutrale Elemente 0 und 1 für + und · existieren, und jedes Element ein Inverses bzgl. + hat.

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@Mister, du hast Recht. Es handelt sich lediglich um die Verallgemeinerung der ganzen Zahlen in den komplexen. Nicht um die der komplexen Zahlen an und für sich.

Werde das editieren lassen. Edit. Ich kann meinen Beitrag nicht melden?!

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So, würde mir jemand bitte helfen oder eine ? ;/

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Assoziativität (+):

z₁ + (z₂ + z₃)  <==> (z₁ + z₂) + z₃

Setze z₁ = a₁ + b₁, z₂ = a₂ + b₂, z₃ = a₃ + b₃

z₁ + (z₂ + z₃) = (a₁ + b₁) + ((a₂ + b₂) + (a₃ + b₃)) = ...

Immer weiter umformen, bis du bei ((a₁ + b₁) + (a₂ + b₂)) + (a₃ + b₃) = (z₁ + z₂) + z₃ landest.

Das gleiche dann mit der Multiplikation, unter der o.g. Regel. Alle weiteren Axiome sind auf ähnliche Weise zu zeigen. Du hast eine Voraussetzung die erfüllt sein muss, und prüfst über Anwendung der definierten Rechenregeln ob du von der "linken" auf die "rechte" Seite hin umformen kannst.

Schreib gleich einfach mal rein was du schon gemacht hast. Dann kann man dir auch besser helfen...

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Ah so, klar , danke dir! Okay ich versuche nun mit der Multiplikation. Bei welche Gleichung soll ich "landen"? :D