Cauchy-Kriterium für Reihen

Question

Kann mir wer bitte folgendes Übungsbeispiel zum Reihenkriterium von Cauchy erklären?

Zu zeigen ist die Divergenz der harmonischen Reihe:

s_2m-s_m=∑1/k von k=m+1 bis 2m

=1+/m+1 +1/m+2 +....1/2m ≥ 1/2m+1/2m...+1/2m=1/2(für m additionen)

Daraus folgt dann dass das Kriterium nicht erfüllt ist: Für ε kleiner 1/2 gibt es kein N so dass Is_m-s_nI kleiner ε ist.

Ich verstehe nur leider nicht genau was hier warum gemacht wurde.

1) Wie kommt man darauf m mal 1/2m zusammen zuzählen?

2) Wieso ist das Kriterium nicht erfüllt? Warum weis ich das ε kleiner als 1/2 ist?

Wäre für jede Hilfe Dankbar

Answer 1

du musst für die harmonische Reihe s_n = \(\sum\limits_{k=1}^{n} 1/k\)  zeigen, dass es nicht für jedes ε ∈ ℝ⁺ ein  N(ε) ∈ ℕ gibt, so dass gilt:

für alle natürlichen Zahlen  m,n ≥ N(∈) :  | s_m - s_n | < ε

In der Lösung wird gezeigt, dass für jedes jedes N ∈ ℕ der Betrag | s_2N - s_N |  ≥ 1/2 ist, dass also für ε ∈ ]0 ,1/2[ die Bedingung mit keinem N ∈ ℕ erfüllt werden kann, weil sie ja schon für (m,n)  = (2N,N) nicht gilt.

> 1) Wie kommt man darauf m mal 1/2m zusammenzuzählen?

>    1/(m+1) +1/(m+2) +....1/(2m) ≥ 1/2m+1/2m...+1/2m = m/(2m) = 1/2

weil das ausreicht, um ∑ .. ≥ 1/2 nachzuweisen, die Summanden links sind alle ≥ den Summanden auf der rechten Seite der Ungleichung, weil die Nenner außer dem letzten kleiner sind.

 > 2) Wieso ist das Kriterium nicht erfüllt? Warum weiß ich das ε kleiner als 1/2 ist?

ε ist nicht kleiner als 1/2, aber da die Bedingung für jedes ε ∈ℝ⁺ erfüllt sein muss, könnte ε < 1/2 sein.

Gruß Wolfgang