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Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die folgende Reihe konvergiert:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{cos n}{2^{n}}$$


Problem/Ansatz:

|an - am| = |am+1 + ... + an|
              $$= \frac{cos m+1}{2^{m+1}} + \frac{cos m+2}{2^{m+2}} + ... + \frac{cos n}{2^{n}}$$

              $$= \frac{cos m+1}{2^{m+1}} ( 1 + ... + \frac{cos n-m-1}{2^{n-m-1}})$$

= ?


Ich bin vorgegangen wie mit 1 / 3^n, also wie der Professor es vorgemacht hat (Am Ende hat er zB den umgewandelten Term bzw. die Reihe als < 1/3^m festgelegt, aber ich blicke da nicht durch). Jedoch weiß ich nicht mehr weiter..
Er redete von geometrische Progression, aber ich bin etwas überfordert & weiß auch nicht, ob ich in diesem Fall vorgehen kann, wie er es tat bei der anderen Aufgabe. Vielleicht kann mir jemand helfen.

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1 Antwort

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Hallo

cos(m)<1 benutzen!

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Kannst du das noch genauer sagen ? Verstehe nicht ganz wie mich das dem Epsilon wert der gesucht ist näher bringt

Hallo

du willst ja nicht = sondern <= also ersetze alle cos Terme durch 1 dann kannst du die Klammer ausrechnen

Gruß lul

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