Aufgabe:
Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die folgende Reihe konvergiert:
$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{cos n}{2^{n}}$$
Problem/Ansatz:
|an - am| = |am+1 + ... + an|
$$= \frac{cos m+1}{2^{m+1}} + \frac{cos m+2}{2^{m+2}} + ... + \frac{cos n}{2^{n}}$$
$$= \frac{cos m+1}{2^{m+1}} ( 1 + ... + \frac{cos n-m-1}{2^{n-m-1}})$$
= ?
Ich bin vorgegangen wie mit 1 / 3^n, also wie der Professor es vorgemacht hat (Am Ende hat er zB den umgewandelten Term bzw. die Reihe als < 1/3^m festgelegt, aber ich blicke da nicht durch). Jedoch weiß ich nicht mehr weiter..
Er redete von geometrische Progression, aber ich bin etwas überfordert & weiß auch nicht, ob ich in diesem Fall vorgehen kann, wie er es tat bei der anderen Aufgabe. Vielleicht kann mir jemand helfen.
