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Cauchy Kriterium für die Konvergenz einer Folge
Das Cauchy Kriterium ist ein wichtiges Werkzeug in der Analysis, um die Konvergenz von Folgen zu überprüfen, ohne den Grenzwert der Folge explizit berechnen zu müssen. Eine Folge \((a_n)\) reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Formal ausgedrückt bedeutet dies:
Eine Folge \((a_n)\) ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, so dass für alle \(m, n \geq N\) gilt, dass \(|a_m - a_n| < \epsilon\).
Anwendung des Cauchy Kriteriums auf die Konvergenz von Reihen
Um zu zeigen, dass für jede Folge \(a_n, n \in \mathbb{N}\), die keine Nullfolge ist, die zugehörige Reihe \(s_n = \sum_{k=0}^{n} a_n\) nicht konvergiert, gehen wir wie folgt vor:
1.
Annahme: Die Folge \(a_n\) ist keine Nullfolge. Das bedeutet, es existiert ein \(\epsilon_0 > 0\) so, dass für alle \(N \in \mathbb{N}\), es gibt mindestens ein \(n \geq N\) mit \(|a_n| \geq \epsilon_0\).
2.
Ziel: Zeigen, dass unter dieser Annahme die Reihe \(s_n = \sum_{k=0}^{n} a_n\) nicht konvergiert.
3.
Beweis durch Widerspruch:
Wir nehmen an, dass die Reihe \(s_n\) konvergent ist. Dann muss nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen gelten, dass für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N' \in \mathbb{N}\) existiert, so dass für alle \(m, n \geq N'\) mit \(m > n\) gilt:
\(\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right| = |s_m - s_n| < \epsilon.\)
4. Aufgrund unserer Annahme, dass \(a_n\) keine Nullfolge ist, gibt es ein \(n \geq N'\), für das \(|a_n| \geq \epsilon_0\) gilt. Wählen wir \(\epsilon < \epsilon_0\) und \(m = n\), dann müsste gelten:
\(\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right| = |a_n| \geq \epsilon_0 > \epsilon,\)
was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass für alle \(m, n \geq N'\) mit \(m > n\) gilt, dass \(|s_m - s_n| < \epsilon\).
5.
Fazit: Daher kann die Annahme, dass die zugehörige Reihe \(s_n\) konvergiert, nicht richtig sein, wenn \(a_n\) keine Nullfolge ist. Folglich muss die Reihe \(s_n\) nicht konvergieren, wenn \(a_n\) keine Nullfolge ist, was das gewünschte Ergebnis ist.
Schlussfolgerung
Diese Argumentation zeigt, dass das Verhalten der Glieder \(a_n\) einer Reihe direkt das Konvergenzverhalten der Reihe beeinflusst. Ist \(a_n\) keine Nullfolge, so hat dies direkte Auswirkungen auf die Nicht-Konvergenz der zugehörigen Reihe \(s_n\), was mit dem Cauchy Kriterium für die Konvergenz von Reihen begründet werden kann.
