Grenzwert von Funktion berechnen. Bsp. limes ( (√(x^2 + x ) - x )

Question

Hey liebe Community,

eigentlich ist die folgende Aufgabe nicht sonderlich schwer, stehe grad irgendwie auf dem Schlauch.
Die Aufgabe lautet:

Berechnen Sie für folgende Funktion(en) den Grenzwert für x → ∞

a) f(x) = $$ \sqrt { x²\quad +\quad x } \quad -\quad x $$

b) f(x) = $$ \frac { \sqrt { x } cos(x) }{ x\quad +\quad 2 } $$

Hab schon bei der a) einiges probiert - von Erweiterung mit (√(x²+x)  + x )/ (√(x²+x)  + x) bis hin zur additiv-neutralen Ergänzung (wenn ihr versteht was ich meine) - wenn ich das in den TR eingebe, kommt 0,5 raus, habe aber keinen rechnerischen Weg gefunden... Hätte da jemand zumindest nen Ansatz?

Bei der b) kommt ja 0 raus, da ja der Nenner gegen Unendlich geht. Oder?

Hoffe, ihr könnt mir da bitte weiterhelfen.

Answer 1

Ich mach mal a)

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit: x> 0. [x geht ja gegen unendlich] 

1. mit 3. Binom erweitern.

f(x) = (√(x^2 + x ) - x )(√(x^2 + x)  + x) / (√(x^2 + x) + x)

= ( (x^2 + x) - x^2) / ( √(x^2+ x ) + x)

= x / ( √(x^2 + x) + x)              | kürzen mit x

= 1/ ( √( 1 + 1/x) + 1)

Grenzübergang x--> unendlich

->   1 /( √(1+0) + 1) = 1/2

Kontrolle für a) https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+(++(√(x%5E2+%2B+x+)+-+x+)+)

Dort kannst du auch b) eingeben um zu schauen, wohin du kommen solltest.

Comments

Ja, den Ansatz mit der binomischen Formel hatte ich auch! Nur ging's bei mir irgendwie nicht... Stand irgendwie voll auf dem Schlauch...
Aber okay,

Hab's dann jetzt.