Das h lässt sich bei der h-Methode nicht wegkürzen

Question

ich habe eine Frage bezüglich der h-Methode. Mal angenommene es gibt eine Funktion, die aus zwei Funktionen besteht. Eine ist für x = 0 definiert und die andere für x ungleich 0. Bei x = 0 steht f(x) = 0 und das Ziel ist zu überprüfen, ob die Funktion an der Stelle x = 0 differenzierbar ist. Setz man das nun in den Differenzenquotienten ein, kommt lim _h->0  h/h heraus. Bedeutet das automatisch, dass diese Funktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist?

Comments

Wie passt "kommt lim _h->0  h/h heraus" zu Deiner Ueberschrift?

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Das ist die Folge davon, dass sich das h nicht wegkürzen lässt. Und da h gegen 0 geht, kann man ja nicht einfach 1 schreiben. Daher würde ich gerne wissen, wie man mit so etwas umgeht. Eine Überlegung von mir war mit L'Hospital weiterzurechnen. Bei mir kommt dann 1/1 heraus. Aber ich weiß nicht, ob das richtig ist.

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Oder hängt das auch von der anderen Funktion (f (x) = ln |x| für x ungleich 0) ab? 

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Fuer den Grenzwert \(h\to0\) werden nur Werte \(h\ne0\) betrachtet. Drum kuerzt sich \(h/h\) zu \(1\) ohne gegen irgendwelche Rechenregeln zu verstossen.

Wenn Du ein konkretes Beispiel behandelt haben willst, solltest Du es komplett wiedergeben.

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Danke für die Antwort. Wie gesagt, es geht hier um f (x) = ln |x| (für x ungleich 0) und f(x) = 0 ( für x gleich 0).Wenn man herausfinden will, ob die Funktion an der Stelle x0 = 0 differenzierbar ist, muss man das dann auch über lim _h->0  h/h machen, oder? Dann würde man für den rechtsseitigen Grenzwert 1 und für den linksseitigen -1 herausbekommen. Oder liege ich da falsch?

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Ich weiss nicht, wass Du mit Deinem \(h/h\) willst. Der Differenzenquotient von \(f\) an der Stelle \(x=0\) lautet $$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\ln|h|}{h}.$$ Im Uebrigen ist \(f\) für \(x=0\) ersichtlich unstetig, also auch nicht differenzierbar.

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Achso oh, wie kommst du denn darauf, dass x = 0 unstetig ist? 

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Tut mir leid, ich habe mich ausversehen verschrieben: f (x) = |x| * ln |x| (für x ungleich 0), so müsste es richtig heißen. 

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~plot~ abs(x)*ln(abs(x)) ~plot~

Die Antwort lautet also: Fuer x = 0 nicht differenzierbar. Wenn Du das nachrechnen willst, musst Du den Differenzenquotienten hinschreiben (moeglichst richtig) und dann gucken, was der für h -> 0 macht.

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 Ich bekomme dafür lim _h->0 ln |h| heraus. Reicht es, wenn man dann sagt, dass ln |0| nicht existiert und es deswegen nicht an der Stelle x0 = 0 differenzierbar ist?

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Nein, reicht nicht. Wir wollen nicht wissen, dass \(\ln0\) nicht existiert, sondern wie es mit \(\lim_{h\to0}\frac{|h|\ln|h|}{h}\) aussieht. (Denn \(|h|/h\ne1\).)

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Ich komme wirklich nicht drauf, ich verstehe irgendwie nicht, auf was man da hinaus will. Muss man die Funktion vielleicht noch weiter umformen?

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Obwohl, kann man auch so argumentieren, dass der linksseitige Grenzwert negativ ist und der rechtsseitige Grenzwert positiv ist? Denn dann wären ja beide Grenzwerte unterschiedlich und der Limes würde folglich nicht existieren, was bedeuten würde, dass die Funktion an der Stelle x0=0 nicht differenzierbar ist.

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EDIT: Bitte neue Fragen als neue Fragen und nicht als Kommentare einfügen. https://www.mathelounge.de/schreibregeln Grund: Es sollen auch andere deine Frage und die zugehörige Antwort finden können. 

Wolfgang hat zum Glück deine beiden Kommentare schon verlinkt:

https://www.mathelounge.de/350663/differenzierbarkeit-umkehrbarkeit#c350815

Answer 1

            (   x • ln(x)     für x > 0

f(x) =   (  -x • ln(-x)   für x < 0

            (   0                für x = 0

Es reicht schon, dass für x=0 für den rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten gilt:

lim_h→0+ [  h • ln(h) / h ] = lim_h→0+  ln(h)  = - ∞

Damit existiert der Grenzwert nicht, denn dieser müsste eine reelle Zahl sein!

→  f ist nicht differenzierbar an der Stelle x=0 

Gruß Wolfgang

Comments

Aber wäre der Grenzwert dann nicht unendlich?

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± ∞ sind keine Grenzwerte im Sinn der Grenzwertdefinition

Man spricht hier von "uneigentlichen" Grenzwerten.