d)
der Term 1/sin(x)-1/x kann auf den Hauptnenner gebracht werden.
1/sin(x)-1/x=(x-sin(x))/(sin(x)*x)
lim x-->0(x-sin(x))/(sin(x)*x)=
zweimal L'hospital
=lim x-->0 sin(x)/(2*cos(x)-x*sin(x))=0/(2+0)=0
Einfacher wäre es die Taylorreihe für sin(x)≈x für kleine x.
e)lim x-->0 sqrt((x^2+x)/(e^x-1))=lim x-->0 sqrt((x+1)/(e^x))=lim x-->0 sqrt(1/(e^x))=1
Ich habe dort zweimal l'hospital angewendet, da man den Grenzwert in die Wurzel ziehen darf.
f) lim x-->∞ x^50/e^x
51 mal l'hospital anwenden liefert
lim x-->∞ 0/e^x=0