Mathe Funktionsbestimmung für Skischanze.

Question

die angehängte Aufgabe muss ich lösen, aber leider bekomme ich es einfach nicht hin. Wäre jemand so nett und würde mir dabei helfen?

Aufgrund des unten abgebildeten Profils einer Skischanze wird deutlich, dass sowohl der Anlauf als auch die Aufsprunghügel durch jeweils eine Funktion beschrieben werden können. Hierbei soll der Ursprung des Koordinatensystems am Ende des Schanzentisches T liegen.

Die genauen Daten:

Der Anlauf beginnt im Punkt \( A(-110| 48,79) \) und der Schanzentisch hat den Steigungswinkel \( -11°\)

Aufsprunghügel:
Hangbeginn \( \mathrm{B}(\mathrm{O} |-3,14) \)

Aufsprungunkt \( z.B. \text { } \mathrm{P}(95,4|-53,56) \)

Kalkulationspunkt \( \mathrm{K}(107,9|-62,6) \)

Ende des Hanges U \( (178,7|-86) \)

Alle Koordinatenangaben in Meter

a) Bestimmen Sie beide Funktionsgleichungen.
b) Wie steht es mit der Sicherheit?

Die Funktionsgleichung \( \mathrm{f}_{1}(\mathrm{x})=-0,006 \cdot \mathrm{x}^{2}+\mathrm{t} \cdot \mathrm{x} \) beschreibt näherungsweise die Flugbahn eines Skispringers.

Für welche t endet der Sprung vor bzw. hinter dem Kalkulationspunkt?

c) Die Sprünge beeindrucken immer wieder auch durch die Höhe des Fluges über dem Aufsprunghügel. Welche maximale Hóhe erreicht ein Springer nach der oben gegebenen Modellgleichung, wenn er genau im Kalkulationspunkt landet? Wie wirkt es sich aut die maximale Höhe aus, wenn der Sprung 5 m über den K-Punkt hinausführt?

Answer 1

a) Bestimmen Sie beide Funktionsgleichungen.

Anlaufstrecke

f(0) = 0

f'(0) = tan(- 11°) = -0.1944

f(-110) = 48.79

c = 0

b = -243/1250

12100·a - 110·b + c = 4879/100

f(x) = 0.002265·x² - 0.1944·x

Aufsprunghang

g(0) = - 3.14

g(107.9) = - 62.6

g''(107.9) = 0

g(178.7) = - 86

d = -3,14

1256216,039a + 11642,41b + 107,9c + d = -62,6

647,4a + 2b = 0

5706550,403a + 31933,69b + 178,7c + d = -86

g(x) = -0.00003327·x^3 + 0.01077·x^2 - 1.326·x - 3,14

Comments

Achtung: Die Modellierung des Aufsprunghügels ist so noch fehlerhaft. Da kann man nicht einfach mit den gegebenen Werten rechnen.

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Ich habe einmal alle Aufgaben auch c.) so berechnet.
Es kommt alles hin bis auf meine Einschätzung das K nicht
der Wendepunkt ist.

Es ist halt der K-Punkt.

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Jepp. Das Martial gibt auch folgende Lösung vor.

y = 0.000036·x^3 - 0.0092·x^2 + 0.02·x - 3.14

Die Wendestelle liegt damit bei 85.19 und nicht im K-Punkt. In der Lösung wurde einfach mit den 4 Punkten als Bedingung gerechnet.

Damit berichtige ich meine obige Rechnung

Aufsprunghang

g(0) = - 3.14

g(95.4) = -53.56

g(107.9) = - 62.6

g(178.7) = - 86

d = -3,14

868250,664a + 9101,16b + 95,4c + d = -53,56

1256216,039a + 11642,41b + 107,9c + d = -62,6

5706550,403a + 31933,69b + 178,7c + d = -86

g(x) = 0.00003648·x^3 - 0.009220·x^2 + 0.01911·x - 3.14

Achtung: der K-Punkt ist hier nicht der Wendepunkt. Das widerspricht dann eigentlich den Bedingungen aber damit muss man wohl leben.

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Man kann den Verlag ja einmal darauf  hinweisen wenn er dir bekannt ist.

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c)

f(x) = - 0.006·x^2 + t·x

f(107.9) = -62.6 --> t = 0.06723

d(x) = f(x) - g(x) = (- 0.006·x^2 + 0.06723·x) - (0.00003648·x^3 - 0.00922·x^2 + 0.01911·x - 3.14)

d(x) = - 0.00003648·x^3 + 0.00322·x^2 + 0.04812·x + 3.14

d'(x) = - 0.00010944·x^2 + 0.00644·x + 0.04812 = 0 --> x = 65.55

d(65.55) = 9.855

Answer 2

Hier die Berechnung für den ANlauf:

f(-110)=48,79               ->Punkt A

f(0)=0                            -> Punkt T

Steigung in T ist -11° , also  m=tan(-11)= -0,19438

-> f '(0)= tan(-11)

Die Anzahl der Bedingungen reicht für eine quadratische Funktion:

f(x) = ax²+bx+c

f '(x)=2ax+b

c=0

12100a-110b=48,79

b= tan(-11)

also bekommen wir:
12100a -110tan(-11)=48,79              |+110tan(-11)

12100a=48,79+110*tan(-11)            |:12100

a=(48,79+110*tan(-11)  )/12100

gerundet ist

a= 0,00226514

b= -0,19438

c=0

also:

f(x)= 0,00226514*x²  -0,19438x

~plot~ 0,002265137686*x^2 -0,19438 *x;[[ -110 | 2 | -2 | 49 ]] ~plot~

Comments

Danke, das hilft mir schon mal, hätte vielleicht noch jemand eben Lust, mir bei Aufgabe B) und C) zu helfen?

Wäre sehr dankbar dafür.

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Hallo Frontliner,

ich bin nicht so ganz einverstanden.
Aus der Skizze wird ersichtlcih :
die Anlaufstrecke hat einen Wendepunkt.
Punkt  A dürfte die Steigung 0 haben.

f (-110) = 48,79        
f ´ ( -110 ) = 0
f ( 0 ) = 0                  
f ' ( 0 ) = tan ( -11 ) = -0,19438

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c * x + d

Ich kümmere mich später nochmals um die komplette Beantwortung
der Frage.

mfg Georg

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f(x) = 0,000057248835·x^3 + 0,008562512397·x^2 - 0,19438·x

~plot~ 0,000057248835*x^{3}+0,008562512397*x^{2}-0,19438*x ; [[ -110 | 0 | 0 | 50 ]] ~plot~

Dann stelle ich dir den Steckbriefaufgabenrechner auch einmal vor.

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Hallo Georg. Ich denke da liegst du verkehrt. Die Anlaufstrecke hat keinen Wendepunkt. Die Zeichnung ist aber auch missverständlich. Gezeichnet ist hier wohl die seitliche Verkleidung und nicht die eigentliche Anlaufstrecke. Ein Blick auf die original Schanze könnte hilfreich sein. Wer mal Skispringen geschaut hat weiß auch das die Anlaufstrecke nie mit einer Steigung von 0 Grad beginnt. Da würden die Skispringer ja kaum weg kommen.

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Hallo mathecoach,

die Skispringer sitzen bei Absprung meist  auf Bänken oder Balken
und der obere Punkt A  hat also direkt schon ein Gefälle. Stimmt.

Wenn ich mir die Skizze so anschaue hat die Absprungbahn aber einen
Wendepunkt. Ich vergrößere einmal die Skizze.

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Doch die Absprungbahn hat einen Wendepunkt

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Mit den Angaben zur Aufsprungbahn bin ich auch nicht einverstanden.

4 Punkte
( 0 | -3.14 )
P ( 95.4 | - 53.56 )
K ( 107.9 | - 62.6 )
U ( 178.7 | -86 )

Wobei der K noch als Wendepunkt angegeben ist.

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d

Also reichlich überbestimmt.

Ich rechne gerade einmal mit den 4 Punkten und schaue dann ob K
als Wendepunkt herauskommt.

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Siehe mein Post: "Die Zeichnung ist aber auch missverständlich. Gezeichnet ist hier wohl die seitliche Verkleidung und nicht die eigentliche Anlaufstrecke."

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@ georg

Wie kommst du darauf dass Punkt B auf der Anlaufschanze liegt?

In der Aufgabe wird  B als Hangbeginn deklariert.

ICh bin davon ausgegangen dass Punkt T, welcher auch der Urpsrung ist, auf der Schanze liegt.

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@ mathecoach

Aus den 4 Punkten ergibt sich

f ( x ) =  0.00003647748*x^3 - 0.00922021339*x^2 + 0.019109444956*x - 3.14

Der Wendepunkt der Funktion wäre bei x = 84.26 m Also nicht K.
Dies stimmt auch mit der Skizze überein.
K wird aber in der Beschreibung von Wikipedia als
der mathematische Wendepunkt beschrieben.
Übergang Rechtskrümmung - Linkskrümmung.

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Hallo Frontliner,

das Punkt B der Absprungpunkt ist kommt bei mir nicht vor.
Wir beide haben Punkt T ( 0 | 0 ) als Absprungpunkt gewählt.
Es gilt also nur :

f (-110) = 48,79        
f ( 0 ) = 0                  
f ' ( 0 ) = tan ( -11 ) = -0,19438

Du hast manuell gerechnet.
Bist du interessiert wie man mit dem Steckbriefrechner die
Rechnung ruck-zuck rechnen lassen kann bzw. seine eigenen
Rechnungen damit kontrolliert ?

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b.)
Genau auf den K-Punkt
-62.6 = -0.006 * 107.9^2 + t * 107.9
t = 0.067233

~plot~    0,00003647748*x^{3}-0,00922021339*x^{2}+0,019109444956*x-3,14;-0,006*x^{2}+ 0,067233*x  ; [[ 0 | 130 | -80 | 2 ]] ; { 107.9 | -62.6 }~plot~

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Bist du interessiert wie man mit dem Steckbriefrechner die 
Rechnung ruck-zuck rechnen lassen kann bzw. seine eigenen 
Rechnungen damit kontrolliert ?

Was genau meinst du mit Steckbriefrechner.

Aber ja. Natürlich bin ich interessiert.

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Es gibt einen Steckbriefrechner von Arndt Brünner:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Habe ich hier im Forum schon sehr häufig gepostet.

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Du  gehst nach
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

und gibst im Feld
" Eigenschaften eingeben "

f (-110) = 48,79        
f ( 0 ) = 0                  
f  '  ( 0 ) = -0,19438

ein ( Die 3 obigen Zeilen kopieren und dort einfügen )

und drückst die Schaltfläche " berechnen ".
Dann wird dir die Funktion berechnet.

Bei den Ableitungen mußt du das Zeichen "  '  "
auf der Taste rechts neben dem " Ä " verwenden. " f ' "

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Siehe Skizze oben.
Größte Differenz zwischen rot und blau.

g ( x ) = -0.006 * x² +  0.067233 * x ( Skiflieger zum K-Punkt )

f ( x ) =  0.00003647748*x³ - 0.00922021339*x² + 0.019109444956*x - 3.14

( g - f  ) ´ = 0

x = 65.56 m
d = 9.86 m

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hi jungs, vielen dank für die zahlreichen antworten.

jedoch blicke ich bei C immernoch nicht so recht durch :/

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Du mußt so sagen  was du nicht verstehst

Das Ergebnis ist : an der Stelle x = 65.56 m
beträgt die Differenz zwischen der roten und der blauen Kurve
d = 9.86 m

g ( x ) = -0.006 * x² +  0.067233 * x ( Formel Skiflieger zum K-Punkt )

f ( x ) =  0.00003647748*x³ - 0.00922021339*x² + 0.019109444956*x - 3.14

g - f ist die Differenz zwischen Skispringer und Hang.
Der Maximalwert ist zu bestimmen.
1.Ableitung bilden und zu null setzen und x ausrechnen.
( g - f ) ´ = 0

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Hi, ich komme nicht auf den weg, wie du auf die ergebnisse kommst, zumal ich es auch nicht wirklich hinbekomme, die beiden funktionen von einander zu subtrahieren.

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Hast du dir die Rechnung oben bei mir angesehen? Wenn ja dann sag mal genau an welcher zeile du nicht mehr mit kommst.

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Hi Mathecoach,

die habe ich glatt übersehen, sorry. Jetzt habe ich es herausbekommen, vielen dank.

Ist es denn jetzt richtig, dass der springer eine maximale höhe von 9,86m erreicht?

und nochmal zu B:

zu der Frage, wie es mit der SIcherheit stehe, was genau soll man darauf jetzt antworten?

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Eigentlich gilt das man möglichst nicht hinter dem k-punkt aufkommen sollte. dort wird es unsicherer den sprung zu stehen.

9.81 als maximale höhe über grund ist richtig. Das ist senkrecht gemessen.

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Ok,

eine frage habe ich zum Schluss noch, warum ist es falsch, von der Funktion f(x)=-006x^2+0,067233x die Ableitung zu machen und dann x auszurechnen? Dort bekomme ich dann 5,6 raus.

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Das wäre dann der Hochpunkt der Flugkurve. Also der höchste Punkt über dem Meeresspiegel. Aber eben nicht über der sich verändernden Ebene.