Hi,
es gilt ja $$ f(\lambda x) = \lambda^\alpha f(x) $$
Differenzieren der linke Seite nach \( \lambda \) ergibt $$ \sum_{j=1}^n \frac{\partial f(\lambda x)}{\partial x_j} \cdot x_j $$ und differenzieren der rechten Seite ergibt $$ \alpha \cdot \lambda^{\alpha -1} f(x) $$ Also gilt insgesamt
$$ \sum_{j=1}^n \frac{\partial f(\lambda x)}{\partial x_j} \cdot x_j = \alpha \cdot \lambda^{\alpha -1} f(x) $$ Für \( \lambda = 1 \) folgt
$$ (1) \quad \sum_{j=1}^n \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \cdot x_j = \alpha \cdot f(x) $$
(1) nach \( x_i \) partiell ableiten ergibt
$$ (2) \quad \sum_{j=1}^n \left[ \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i\ \partial x_j} \cdot x_j + \frac{\partial f(x)}{\partial x_j}\ \delta_{ij} \right] = \alpha \cdot \frac{\partial f(x)}{\partial x_i} $$
Das ergibt
$$ (3) \quad \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i\ \partial x_j} \cdot x_j = (\alpha -1) \cdot \frac{\partial f(x)}{\partial x_i} $$ Das ist Teil (a) der Aufgabe.
zu (b)
(3) mit \( x_i \) multiplizieren und über \( i=1 \cdots n \) aufsummieren und dabei (1) verwenden, ergibt Teil (b)
