Wie berechne ich die Schnittpunkte der beiden Funktionen?

Question

Wie berechne ich den Schnittpunkt der beiden Funktionen:

f(x) = 3/2·(2/3)^{-x}

g(x) = 6·3^x

Answer 1

\( \begin{aligned} f(x)=g(x) & \\ \frac{3}{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-x} &=6 · 3^{x} \quad | \frac{2}{3} \\ \left(\frac{2}{3}\right)^{-x} &=4·3^{x} \\ \frac{2^{-x}}{3^{-x}} &=4·3^{x} \quad | 3^{-x} \\ 2^{-x} &=4·3^{x} \cdot 3^{-x} \\ 2^{-x} &=4 \quad |·2 x \\ 1 &=4·2 x \quad | :4 \\ \frac{1}{4} &=2 x \\ \frac{1}{2^2} &=2^{x} \\ 2^{-2} &=2^{x} \\ \rightarrow & x=-2 \\ & \end{aligned} \)

in \( g(x) \) einsetzen:

\( \begin{aligned} \rightarrow & g(x)=6·3^{x} \\ & g(-2)=6·3^{-2} \\ & g(-2)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} \\ \rightarrow & S\left(-2 ; \frac{2}{3}\right) \end{aligned} \)

Answer 2

Hallo Astrid,

3/2 * (2/3)^-x = 6 * 3^x  | : 6     [ (a/b)^-n = (b/a)ⁿ ]

⇔ 1/4 * (3/2)^x = 3^x 

⇔  1/4 * 3^x /2^x = 3^x  | * 2^x | : 3^x   

⇔ 1/4 = 2^x       [ 1/4 = 1/2² = 2^-2 ]

⇔ 2^-2 = 2^x 

⇔  -2 = x

Schnittpunkt: S(-2| g(-2) ) = S( -2 | 2/3 ) 

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oder  1/4 = 2^x →  ln(1/4) = ln(2^x) → x*ln(2) = ln(1/4) → x = ln(1/4) / ln(2) = -2

Gruß Wolfgang

Answer 3

Gleichsetzen 3/2*(2/3)^-x = 6*3^x Umformen: 3/2*(3/2)^x = 6*3^x Potenzen von x auf eine Seite^, Rest auf andere Seite.  3/(2·6) = 3^x/(3/2)x. Potenzgesetze anwenden und kürzen (links): 1/4 = (3/(3/2))^x . Dividieren durch einen Bruch 1/4 = 2^x. Dann ist x = - 2 und g(-2) = 2/3. Also ist (-2; 2/3) der Schnittpunkt.