n-te Ableitung von f(x) = Wurzel (1+×) für alle n Element aus No

Question

ich würde gerne wissen, wie man per vollständiger Induktion die n-te Ableitung einer Funktion bildet. Kann mir das vielleicht jemand an folgender Funktion :f(x) = Wurzel (1+x) für alle n ∈ N₀ zeigen?

Das wäre eine große Hilfe.

Grüße

Answer 1

Hi,
wenn man die Funktion \( f(x) = \sqrt{1+x} \) ein paarmal ableitet, kommt man auf folgenden Ausdruck
$$ \frac{d^n}{dx^n}f(x)=\frac{(-1)^{n-1}}{2^n} \cdot \prod_{i=1}^{n-1}(2i-1) \cdot (1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}  $$

Comments

Könntest du vielleicht Schrittweise zeigen, wie du darauf gekommen bist und inwiefern du die vollständige Induktion benutzt hast?

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Ich habe ein paar Ableitungen gebildet und dann verallgemeinert. Vollständige Induktion habe ich nicht benutzt.

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Achso, wie würde denn eine vollständige Induktion bei der Aufgabe aussehen?

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Und noch eine Sache: Man könnte die allgemeine Ableitung doch auch folgendermaßen definieren:

fn(x) = (((-1)^n-1)/2ⁿ)* (1+x)^((2n-1)/2), oder?

Hierbei steht n für den Grad der Ableitung

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Also da stimmt was nicht in Deiner Formel. Aber ich habe bei mir auch einen Fehler gesehen und den korrigiert. Meine Ableitung bezog sich auf \( \sqrt{x} \) und nicht auf \( \sqrt{1+x} \)

Aber Deine Formel kannst Du ja nach prüfen.Für \( n = 1 \) würde folgen \( f'(x) = \frac{1}{2} \sqrt{1+x} \) was ja falsch ist.

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Oh ich meinte natürlich fn(x) = (((-1)^n-1)/2ⁿ)* (1+x)^-((2n-1)/2). So würde es doch gehen, oder?

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Berechne mal die dritte Ableitung nach Deiner Formel, dann kommt

$$  f'''(x) = \frac{1}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}  $$ heraus. Richtig ist aber

$$ f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}} $$

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Ok stimmt, du hast recht. Fehlt jetzt nur noch die vollständige Induktion. Da muss ich ja beweisen, dass [fn(x)]' = fn+1(x). Könntest du mir dabei vielleicht die Umformungschritte zeigen, wie man darauf kann?