n-te Ableitung beweisen, vollständiger Induktion

Question

  Gegeben sei die Funktion h : R → R mit h(x) = 5xe\( ^{-3x} \) , x ∈ R.    a) Geben Sie eine Vermutung für die n-te Ableitung von h an und beweisen Sie diese mittels vollständiger Induktion.

    b)  Geben Sie jetzt für die Funktion p(x) = 5\( x^{2} \)e\( ^{-3x} \) , x ∈ R, die n-te Ableitung..

Comments

Schreib dir die ersten paar Ableitungen auf

oder schneller hiermit:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

h(x) = 5·x·e^(- 3·x)

h'(x) = 5·e^(- 3·x)·(1 - 3·x)
h''(x) = - 15·e^(- 3·x)·(2 - 3·x)
h'''(x) = 45·e^(- 3·x)·(3 - 3·x)
h''''(x) = - 135·e^(- 3·x)·(4 - 3·x)

Erkennst du ein Muster?

Du kannst auch Wolframalpha bitten dir ein paar Ableitungen zu berechnen.

https://www.wolframalpha.com/input?i=table+d%5En%2Fdx%5En+%285x*exp%28-3x%29%29+for+n%3D1...10

Answer 2

Hallo

bestimme die ersten 3 Ableitungen, siehst du jetzt wie die 4 te aussieht, daraus vermute wie die n te aussieht , die Induktion verlangt dann dass du daraus die (n+1)te ausrechnest und die derselben Formel mit n+1 statt n gehorcht.

Entsprechend bei b) wobei du a) benutzen kannst( in der Produktregel)

Gruß lul