Optimierung. f(x,y) = 5xy-y² NB: x+y=12

Question

f (x,y)= 5xy-y²      Nebenbedinung: x+y = 12
L(x,y,λ) = 5xy-y²+λ*(x+y-12)
L'x (x,y,λ) = 5y+λ =0
L'y(x,y,λ)= 5x-2y+λ=0
L'λ(x,y,λ)=x+y-12 =0

Ich habe die x und y werte bereits rausbekommen mit dem Matrizenschreibweise rausbekommen. Kann mir jemand mal dazu die andere Methode zeigen, wo man die 1. Gleichung nach x umstellt, in die zweite einsetzt usw. irgendwie kriege ich das damit nicht hin :D

Answer 1

Hallo Anisa,

5y + λ =0  → λ = -5y 

5x - 2y + λ = 0   →   5x  -2y - 5y = 0   →   5x - 7y = 0   #

x + y - 12 = 0  → y = 12 - x

y in # einsetzen  →  5x - 7 • (12 - x) = 0  →  5x - 84 + 7x = 0

→  12x = 84  → x = 7

→ y = 12 - x = 5

und - falls es gebraucht wird -   λ = -5y = -25

Gruß Wolfgang