Pyramide mit quadratischer Grundfläche: Spitze S bestimmen

Question

Die Aufgabe lautet: "Eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und der Spitze S hat die Eckpunkte A (1|3|2) und B (1|7|2). Die Höhe der Pyramide beträgt 4cm. (Eine Längeneinheit entspricht 1cm).

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte C und D sowie die der Spitze S.

Comments

es ist vielleicht schon etwas länger her das dieser Beitrag geteilt wurde aber könnte mir jemand die Nr. 3b erklären ?

Meine Lehrerin meinte das es bei diese Aufgabe noch eine weitere Lösung gibt.

Answer 1

C (-3 | 7 | 2)

D (-3 | 3 | 2)

S (-1 | 5 | 6)

Zeichne dir das mal in ein Koordinatensystem ein und frag dich dann, wie man ohne viel Rechenaufwand zu den Punkten kommen kann.

Comments

Okay, C und D kann man ablesen wenn man das eingezeichnet hat.. Aber wie kommt man auf den Punkt S?

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Überlege dir was der Mittelpunkt der Grundfläche ist und wie hoch die Pyramide ist.

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Also die Hälfte von der Strecke AB ist (0|2|0)

Dann der muss man die Hälfte von der Strecke BC (2|0|0) nach oben..

Die Diagonale von A nach C lässt sich berechnen indem man AB und CB addiert, oder? Das wäre dann (4|0|0), die Hälfte der Diagonale wäre (2|0|0)

Vom Mittelpunkt aus bis zur Spitze lautet die Strecke  (0|0|4)..

Sind die Angaben bis jetzt richtig? Ich wüsste nicht, wie ich weitermachen soll..

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Der Fußpunkt der Pyramide liegt genau zwischen A und C oder zwischen B und D.

S = A + 1/2 * AB + 1/2 * BC + h

S = [1, 3, 2] + 1/2 * [0, 4, 0] + 1/2 * [-4, 0, 0] + [0, 0, 4] = [-1, 5, 6]

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Wieso hat man das A am Anfang? Also was genau ist die Bedeutung? Das ist ja nur ein Punkt..

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Richtig. Von dem Punkt könntest du los gehen, wenn du an die Spitze möchtest.

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Alles klar, danke! Das beantwortet auch die Frage b), also warum es mehrere Lösungen gibt.. Weil man von verschiedenen Punkten losgehen könnte..

Ist das Ergebnis S (3|5|6) von der Antwort vor Ihnen auch richtig ?

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jetzt missverstehst du etwas. Wenn du von einem anderen Punkt startest müsstest du auch einen anderen Weg gehen.

Das Ziel setzt sich immer aus Start und Richtung zusammen.

S(3|5|6) kann auch richtig sein, wenn man das Koordinatensystem anders definiert. Es gibt sogar unendlich viele Möglichkeiten, weil die Grundfläche nicht parallel zur x-y-Ebene sein müsste. Das ist aber der einfachste Fall.

Normalerweise wird die x-Achse aber nach schräg vorne gezeichnet und die Werte steigen noch vorne hin an. Daher wäre S(3|5|6) eher untypisch hier.

Answer 2

Der Vektor von A nach B heißt (0,4,0) (als Vektor geschrieben). Dann heißt der Vektor von B nach C (4,0,0). Der Vektor von A zum Fußpunkt der Höhe ist 1/2((0,4,0)+(4,0,0)) = (2,2,0). Dann ist der Vektor von A nach S (2,2,4) und der Punkt S hat die Koordinaten (1,3,2)+(2,2,4)= (3,5,6).