Antwort mit KI erzeugt
Lösungsansatz:
Um die Anzahl der verschiedenen Wortkombinationen zu berechnen, die durch das Vertauschen der Buchstaben im Wort "aaaaabbbc" entstehen können, verwenden wir die Formel für Permutationen von Objekten mit Wiederholungen. Die allgemeine Formel lautet:
\(
\frac{n!}{p_1! \cdot p_2! \cdot \ldots \cdot p_k!}
\)
Dabei ist:
- \(n\) die Gesamtzahl der Objekte,
- \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) sind die Häufigkeiten der sich wiederholenden Objekte, und
- \(n!\) steht für die Fakultät von \(n\), was das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu \(n\) ist (z.B. \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)).
In unserem Fall ist das Wort "aaaaabbbc" zusammengesetzt aus:
- 4 Mal der Buchstabe "a",
- 3 Mal der Buchstabe "b", und
- 2 Mal der Buchstabe "c".
Die Gesamtzahl der Buchstaben, \(n\), ist 9.
Setzen wir nun diese Werte in die Formel ein:
\(
\frac{9!}{4! \cdot 3! \cdot 2!}
\)
Berechnen wir zunächst die Fakultäten:
- \(9! = 362880\),
- \(4! = 24\),
- \(3! = 6\), und
- \(2! = 2\).
Nun setzen wir diese Werte in die Formel ein:
\(
\frac{362880}{24 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{362880}{288} = 1260
\)
Fazit:
Es gibt insgesamt 1260 verschiedene Wörter, die durch Vertauschen der Buchstaben im Wort "aaaaabbbc" gebildet werden können.
