wie habt ihr denn diffb. definiert ?
Etwa so f diffb. in a genau dann wenn
lim x gegen a von (f(x) - f(a) ) / (x-a) existiert .
Dann forme mal die gegebene Gleichung für x≠a etwas um und du hast
( f(x) - f(a) ) / ( x-a) = m + r(x) und wenn r stetig bei a ist, heißt das, dass der
Grenzwert von r für x gegen a gerade r(a) ist, also der Grenzwert von
( f(x) - f(a) ) / ( x-a) existiert und ist m + r(a) und weil r(a) = 0 ist, ist er gleich m = f ' (a) .
Umgekehrt: Definiere die Funktion
r(x) = ( f(x) - f(a) ) / ( x-a) - f ' (a) für x≠a und
= 0 für x=a
und r(x) ist in a stetig, weil der Grenzwert für x gegen a
gleich f'(a) - f'(a) = 0 ist und der Funktionswert bei a ist ja auch 0.
