Mit Plättchen zeigen, warum die Summe zweier aufeinanderfolgender ungrader Zahlen immer ein Vielfaches von 4 ist.

Question

ich soll grade folgende Aufgabe lösen:

Beweisen sie mithilfe von Plättchen, dass die Summe zweier aufeinanderfolgender ungrader Zahlen ein Vielfaches von 4 ist.

Ich habe irgendwie ein Brett vorm Kopf.

Lieben Gruß

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Ungerade Zahl:

1+2k, k ist Element von den ganzen Zahlen.

Zweite ungerade Zahl:

(1+2k)+2

3+2k

Hypothese:

(1+2k)+(3+2k) = g, wobei g ein Vielfaches von 4 ist.

Auflösen:

4+4k=g

4 ausklammern:

4(1+k)=g

Hier ist der Beweis. 4*eine ganze Zahl ist immer ein Vielfaches von 4.

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oder:

ungerade Zahl: 2k-1

2k-1 + (2k-1+2) = 4k

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Es geht auch ein wenig allgemeiner: Ist die Differenz zweier ungerader Zahlen nicht durch 4 teilbar, dann ist ihre Summe sicher durch 4 teilbar.

Das gilt für ganze Zahlen, Plättchenbeispiele sollten aber vermutlich auf kleine natürliche Zahlen beschränkt bleiben, etwa so:

OOOOOOOOOOO
OOOOO

Die Differenz (rot) ist nicht durch 4, aber durch 2 teilbar, die Hälfte der Differenz ist also ungerade und wir bekommen durch Schieben der Differenzhälfte

OOOOOOOO
OOOOOOOO

zwei identische Reihen, jeweils bestehend aus einer ungeraden Anzahl schwarzer und roter Plättchen. Jede Reihe besitzt daher eine gerade Anzahl an Plättchen, beide Reihen zusammen also eine durch 4 teilbare Plättchenzahl.

Answer 1

Leg in eine reihe 5 Plättchen

Leg in die Reihe darunter 7 Plättchen

Beide Reihen enthalten eine ungerade anzahl an Plättchen. Bewege jetzt ein Plättchen der 7er Reihe zur 5er Reihe. Nun haben wir 2 mal 6 Plättchen.

Du kannst jetzt den Rechteckigen Block immer horizontal und vertikal in der Mitte teilen. Horizontal weil wir eine gerae anzahl an Reihen haben und vertikal weil wie eine gerade Anzahl Plättchen pro Reihe haben. Damit läßt sich der Block in 4 Teile teilen. Die Summe der Plättchen ist also durch vier teilbar.

Answer 2

Nimm von der Plättchenreihe der größeren Zahl ein Plättchen weg und lege es an die Reihe der kleineren Zahl. Interpretiere das Ergebnis!

Answer 3

Hi!

sei n  ≥1 eine ungerade Zahl

und x ∈ ℕ

Also soll gelten:

n+(n+2)=4*x

2n+2=4x

2(n+1)=4x               |:4

(n+1)/2 =x

Die Gleichung ist erfüllt: eine ungerade Zahl, addiert mit 1 ergibt eine gerade Zahl.

Was genau meinst du mit Plättchen?

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Vielleicht sowas: