Anwendungsaufgabe zur Kurvendiskussion. EHEC-Erkrankungen gemäss f(x) = -1/250x³ + 1/10x²

Question

Ich habe ein Problem bei folgenden Aufgaben:

Das Robert-Koch-Institut in Berlin hat den Verlauf der Darmerkrankung EHEC untersucht.
Die Zahl der Erkrankten kann näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung dargestellt werden:

f(x) =  -1/250x³ + 1/10x²

e) Ermittle den Zeitpunkt, an welchen noch kurz vor Ende der Epidemie 5 Personen erkrankt waren.

g) Ermittle, wann die Erkrankungsrate 0,5 Erkrankungen/Tag beträgt.

Die Lösung zu Aufgabe e) sollte xt = 22,54 sein und die zu g) x1 = 3,06 und x2 = 13,60, jedoch weiß ich nicht wie man vorgehen muss um auf dieses Ergebnisse zu kommen.

:)

Comments

Darfst du einen Taschenrechner benutzen?

Kann der kubische Gleichungen lösen?

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ja ein Taschenrechner ist zugelassen, aber er kann keine kubischen Gleichungen Lösen (Casio fx-82MS)

Answer 1

Hi!

e.)

f(x)=-1/250x³ + 1/10x²

Gesucht ist hier ja f(x)=5, also den Zeitpunkt, an dem die Funktion Wert 5 annimmt:

5= -1/250x³ + 1/10x²     |-5 

0=x²(-1/250x+1/10) -5

Diesen Term kannst du zb. mit dem Newtonverfahren oder mit dem TR nach x auflösen und erhältst:

x1= -6,3177

x2= 22,54

x3=8,778

Gesucht ist nun der Wert, an dem die Epidemie kurz vor ihrem Ende steht

(" kurz vor Ende"). Das ist vor der zweiten Nullstelle der Fall,welche bei x=25

liegt.

Lösung x2=22,54 stimmt also.

Erkrankungsrate: 0,5

ALso f '(x)=0,5

f '(x)=-3/250*x²+1/5*x

f'(x)=-3/250*x²+1/5*x =0,5    |-0,5

-3/250*x²+1/5*x -0,5=0              |pq-Formel oder abc-Formel:

x1=13,6

x2=3,06

Zu diesen Zeitpunkten erkranken 0,5 Personen pro Tag.

~plot~ -1/250x^3 + 1/10x^2;[[ 0 | 29 | 0 | 10 ]] ~plot~

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Das Newtonverfahren haben wir im Unterricht nie behandelt, wäre es auch möglich mithilfe der Polynomendivision und danach mit der pq-Formel auf das selbe Ergebnis zu kommen?

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Polynomdivsion ist hierfür eher ungeeignet. Die Ergebnisse sind ja nicht ganzzahlig und sind deshalb eher unbrauchbar für eine Polynomdivision.

Ich könnte dir noch eine grafische Lösung empfehlen

Dabei suchst du einfach grafisch die Nullstellen von

0=x²(-1/250x+1/10) -5

wenn eben entsprechende Ungenauigkeiten toleriert werden.

Hier die Zeichnung dazu:

~plot~ x^2*(-1/250x+1/10) -5; [[ -10| 40 | -30 | 40 ]] ~plot~

Ansonsten kann ich dir wirklich das Newtonverfahren nahelegen, was wirklich nicht schwer ist und genauere Ergebnisse liefert.

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

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Nein. Das mit der Polynomdivision klappt nur, wenn du eine der Lösungen erraten kannst. Bei den gegebenen Zahlen ist das wohl nicht möglich.

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Okay das meinte ich ;)

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Ich werde mir das Newtonverfahren dann mal ansehen.

Danke für die schnellen und ausführlichen Antworten :)

Answer 2

Offenbar ist x  die Zeit gemessen in Tagen. Zu e) f(x) = 5 einsetzen. nach x auflösen.

Zu f) Erste Ableitung bilden. f'(x) = 0,5 setzen. nach x auflösen.

Answer 3

f(x)=5

-1/250 x^3+1/10 x^2= 5

x^3-25x^2+1250=0

Für diese Gleichung brauchst du ein Näherungsverfahren oder die Cardano-Formeln.

e)

f '(x)=0,5

-3/250x^2+2/10 x= 0,5

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