Aussagen widerlegen zu Gipfeln und Tälern

Question

Hallooo!Ich soll folgende Aussagen widerlegen(evt. mit einen Gegenbeispiel)

a) Wenn f´(a)=0 ist, dann f(x) an der Stelle a einen Gipfel oder ein Tal

b) Eine ganz rationale Funktion dritten Grades (also x³ ...) besitzt immer Gipfel oder Täler

c) Wenn das Vorzeichen der Tangentensteigungsfunktion wechselt, hat der Graph von f(x) dort einen Wendepunkt

Ich hoffe sehr, auf hilfreiche Antworten weil es sehr wichtig ist !

Answer 1

In allen drei Fällen a), b) und c) ist f(x)=x³ ein Gegenbeispiel. f'(x) = 3x² hat an der Stelle a = 0 keinen Gipfel und kein Tal. Der Graph von f(x)=x³ besitzt weder Gipfel noch Täler. Das Vorzeichen der Steigung wechselt am Wendepunkt nicht.

Answer 2

Ich weiß nicht ob ich die Fragen 100 % exakt beantworten kann

a) Wenn f´(a)=0 ist, dann f(x) an der Stelle a einen Gipfel oder ein Tal

f ´( a ) = 0 heißt die Steigung ist 0. Die Tangente ist waagerecht.
Extrempunkt oder Sattelpunkt.

~plot~ x^3 + 3 ; 3 ~plot~

b) Eine ganz rationale Funktion dritten Grades (also x³ ...) besitzt immer Gipfel oder Täler
Die Funktion x^3 + 3 hat keinen Extrempunkt.

c) Wenn das Vorzeichen der Tangentensteigungsfunktion wechselt,
hat der Graph von f(x) dort einen Wendepunkt
Ist gemeint
Funktion f ( x )
1.Ableitung f ´( x )
2.Ableitung f ´´ ( x )
Ist die 2.Ableitung gemeint ?
f ´´ ( x ) = 0  => Wendepunkt

Ich hoffe ich konnte dir schon einmal weiterhelfen.

mfg Georg

Comments

Ja, auf jeden Fall! Vielen lieben Dank :)

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c) Wenn das Vorzeichen der Tangentensteigungsfunktion wechselt, hat
der Graph von f(x) dort einen Wendepunkt

Tangentensteigungsfunktion wird wohl  Steigungsfunktion bedeuten.

Es gilt

c) Wenn das Vorzeichen der Steigungsfunktion wechselt, hat
der Graph von f(x) dort einen Extrempunkt.
Steigung von plus nach minus : Hochpunkt
Steigung von minus nach plus : Tiefpunkt

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Genau, das dachte ich  mir auch bei c). war mir aber unsicher, ob das reicht ..

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Wir sind ja hier auch nicht im gebirge. Habt ihr im Unterricht auch mal was von minima und maxima oder vielleicht von hoch- und tiefpunkten gehört? Oder von extremwerten?

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Hallo Kofie,

a) Wenn f´(a)=0 ist, dann f(x) an der Stelle a einen Gipfel oder ein Tal

vielleicht ist dies ja die Originalfragestellung. Dann wäre die Wortwahl dem
Fragesteller nicht anzukreiden.

Bei Funktionen f ( x,y ) habe ich immer das Bild der Alpen vor Augen :
x,y, ist die Ausdehnung der Grundfläche auf der ein Gebirge ist.
Ein Gipfel ist ein Extrempunkt in sowohl in x- als auch in y-Richtung.
Mulden sind die Tiefpunkte.

Paßt bei mir als Bild hervorragend.

mfg Georg