Konvergenz von einer Folge beweisen

Question

a_n= ∑ⁿ_k=1  (2^kn+2n²+k)/(2^k+1n²+2^kk)

Ich soll die Folge auf Konvergenz und Grenzwert untersuchen.

Ich abe es bereits mit dem Intervallschachtelungssatz versucht, aber ohne Erfolg

Answer 1

Hi,
die Folge kann man umschreiben in $$ a_n = \sum_{k=1}^n \frac{2^k n + 2 n^2 + k}{2^{k+1} n^2 + 2^k k } = \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{2n + \frac{k}{n}} +\left( \frac{1}{2} \right)^k \right] = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n + \frac{k}{n}} + \sum_{k=1}^n\left( \frac{1}{2} \right)^k $$
Für die erste Summe gilt
$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n + \frac{k}{n}} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n + \frac{1}{n}} = \frac{n^2}{2n^2+1} = \frac{1}{2+\frac{1}{n^2}} \rightarrow \frac{1}{2} $$
Die zweite Summe ist eine geometrische Reihe die gegen \( 1 \) konvergiert, also konvergiert auch \( a_n  \)

Comments

Das hilft mir sehr.  Vielen lieben Dank!

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Wie kamst du denn auf diese Umformung also was hast du gemacht damit du auf dieses 1/(2n + k/n) + (1/2)^k kamst?

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Klammere im Nenner \( 2^k \) aus und zerlege den Bruch in $$ \frac{2^k n + 2 n^2 + k }{  2^k (2 n^2 + k)}   =  \frac{2^k n  }{  2^k (2 n^2 + k)} + \frac{2 n^2 + k }{  2^k (2 n^2 + k)}  $$ dann noch etwas rumrechnen und Du hast es.