kubische Gleichung lösen, die keine rat. Lösung hat

Question

ich habe die kubische Gleichung x^3+x^2-2x-1= 0 und die bekannte Nullstelle ist x = 2*cos(2*pi/7)

Es soll nun bewiesen werden, dass die Gleichung keine rationale Lösung hat. Wie gehe ich am sinnvollsten vor?

Per Polynomdivision wäre es zu kompliziert, mich würde nun interessieren ob es einen einfacheren Weg gibt.

Comments

Die Menge möglicher rationaler Nullstellen ist doch recht überschaubar.

---

Bislang enthält keine der Antworten einen Nachweis zur Irrationalität der Lösungen...

Answer 1

Mit Polynomdivision:

Sei 2*cos(2*pi/7) =a 

(x³+x²-2x-1):(x-a)=x² +x(1+a)+(a+a²-2)

pq-Formel:

x= -(1+a)/2±√(((1+a)/2)² -a-a²+2) 

=-1/2-a/2 ±√(0,25+0,5a+0,25*a²-a-a²+2)

= -0,5-0,5a ±√ (-3/4*a²-0,5*a+2,25)

also:

x= -0,5-0,5*2*cos(2*pi/7) ±√ (-3/4*(2*cos(2*pi/7))²-0,5*(2*cos(2*pi/7))+2,25)

Comments

Wie löse ich denn weiter auf? Bzw. kann ich das unter der Wurzel noch weiter vereinfachen?

---

Probiers aus ;)

Answer 2

Ich habe die kubische Gleichung x^3+x^2-2x-1= 0 und die bekannte Nullstelle ist x = 2*cos(2*pi/7).

Es soll nun bewiesen werden, dass die Gleichung keine rationale Lösung hat. Wie gehe ich am sinnvollsten vor?

Am sinnvollsten wird es sein, wenn du dich auf den von mir unterstrichenen Teil der Aufgabe konzentrierst und den zweiten Teilsatz vergisst.

Per Polynomdivision wäre es zu kompliziert, mich würde nun interessieren ob es einen einfacheren Weg gibt.

Du kannst die Aufgabe auch in einer einzigen Zeile erledigen. Die Bestimmung weiterer Nullstellen führt dich allerdings nicht weiter und die angegebene Nullstelle dient lediglich dazu, den Aufgabenbearbeiter in die Irre zu leiten.

Comments

Das habe ich mittlerweile auch begriffen,

woran ich sonst noch gedacht habe wäre x in Form von p/q zu schreiben für x einzusetzen und zu versuchen die Gleichung zu einem Widerspruch zu bringen, aber das bringt mich auch nicht weiter....

---

Ok, deine Hartnäckigkeit finde ich beeindruckend! Ich nehme an, du kennst den Satz über rationale Nullstellen und hast ihn vermutlich in der einen oder anderen Form schon oft angewendet. Er liefert ein notwendiges Kriterium zur Rationalität der Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Wende das auf dein Polynom an und du bist schnell fertig.

---

Oh Gott der Wikipedia Beitrag ist GENIAL!!!Tausend Dank! :D Ich würde gerne mehrmals liken. Jetzt kann ich in beruhigt schlafen.

---

Da Mia dich "nicht mehr liken kann", gebe ich dir wenigstens noch einen Pluspunkt :-)

Answer 3

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln