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Das Querschnittprofil eines 400m langen Kanals ( siehe Bild) kann durch die Funktion f(x)= 2x* e^ -0,25^2 modelliert werden.

1. Wie breit ist die Wasserrinne?  ( Die Breite des Kanals ist eigentlich die Strecke vom vorderen Wendepunkt im 1.Quadraten zum vorderen Wendepunkt des 4. Quadraten oder?) wie im Bild zusehen ,aber komischerweise habe ich 2 wendepunkte undzwar einmal bei x1= 0 und x2=2,45, aber x1 dürfte doch gar nicht 0 sein

2. Berechnen Sie das maximale Fassungsvermögen des Kanals. ( 400m Queschnitt und die Breite von der Wasserrinne ?? mehr weiß ich nicht wie man den Volumen berechnet)


Bild Mathematik

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1. Wie breit ist die Wasserrinne?

Sicher von Hochpunkt zu Hochpunkt

f(x) = 2·x·e^{- 0.25·x^2}

f'(x) = e^{- 0.25·x^2}·(2 - x^2) = 0 --> x = √2

Breite: 2·√2 = 2.828 m

2. Berechnen Sie das maximale Fassungsvermögen des Kanals.

f(√2) = 1.716

A = ∫ (0 bis √2) (1.716 - 2·x·e^{- 0.25·x^2}) dx = 0.8529

V = 2 * 0.8529 * 400 = 682.3 m³

Das Fassungsvermögen beläuft sich auf ca. 682.3 m³.

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erstmal vielen Dank für eure Antworten!

Der_Mathecoach.

ich habe noch eine Frage an dich, wieso hast du bei der 2. Aufgabe das Integral im Intervall von 0 bis √2 genommen und nicht von -√2 bis √2 ( also die Breite der Wasserrinne) ?.

und ohne Taschenrechner , wie soll ich die Stammfunktion von 1,716 errechnen, wenn ich alle Schritte einzeln mache?

Vielen Dank nochmal!

Was weißt du über die Symmetrie von

f(x) = 2·x·e- 0.25·x^2

Passt das zur angegebenen Funktion ? Also was vermutest du auch wenn das im Aufgabentext eventuell nicht erwähnt ist?

Stammfunktion von 1.716 ist 1.716x :)

Die e-Funktion leitet man mit Umkehrung der Kettenregel ab. georgborn hat das ja bereits vorgemacht sehe ich.

hallo nochmal! Vielen Dank für die schnellen Kommentare!

Das Einzige was mich irritiert ist , warum ihr beide zwei verschiedene Lösungen habt.

georgborn benutzt für A= ∫ (0 bis √2) (2x•e^ -0,25x^2) dx= 1,57 m2

V= 2• 1,57 • 400 = 1259,101

bei der_mathecoach ist es irgendwie anders mit 1,716 im integral noch dazu.

Du sollst berechnen wie viel Wasser der Kanal fasst. Überlege dir dazu welche Fläche du berechhnen musst und wie du das am besten hin bekommst.

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In der Fragestellung ist wohl ein x im Exponenten vergessen worden.

Bild Mathematik

~plot~ 2*x*e^{-0,25*x^2} ; [[ 0 | 5 | 0 | 2 ]] ~plot~

Bei Bedarf nachfragen.
Du sollst nicht unwissend sterben.

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Stammfunktion von
f(x) = 
2·x·e- 0.25·x^2
bilden.

Eine e-Funktion muß als Stammfunktion eine e-Funktion haben.
Ich probiere aus
[ e^{-0.25*x^2} ] ´
e^{-0.25*x^2} * (-.25*2*x)
e^{-0.25*x^2} * (-0.5*x)
Stimmt ja schon fast mit f überein.
Anstelle -0.5*x soll dort stehen 2 * x
Also :
-0.5 * x * z = 2 * x
z = -4

[ -4 * e^{-0.25*x^2} ] ´2·x·e- 0.25·x^2

Das Integrieren kann auch mit der partiellen Integration durchgeführt werden.
Ich kann das bei Bedarf auch vorführen.

Korrektur
Unglücklichsterweise habe ich als A die Fläche unterhalb
Kurve ( Erdreich ) berechnet.
Richtig ist : Rechteckfläche Kanalkrone mal ( x -Stelle Kanalkrone )
zunächst zu berechnen
1.716 * √ 2 = 2.427 m^2  und dann die zuvor berechnete Fläche abzuziehen
2.427 - 1.5738 = 0.853 m^2
Dies ist die rechte Seite des Kanals. Also noch
A = 2 * 0.853 = 1.706 m^2
V = 1.706 * 400 = 682.4 m^3

Die Höhe des Erdreichs ist f ( x )

Die Dammkrone ist bei 1.716 m

Die Wasserhöhe an der Stelle x ist die Differenz zwischen
Dammkrone und Erdreich-Funktion
1.716 - f ( x )
1.716 - 2·x·e- 0.25·x^2
Die Fläche ist
A = ∫ 1.716 - 2·x·e- 0.25·x^2 dx  zwischen x = 0 bis √2

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