Kanalprofil errechnen

Question

Das Querschnitt eines 400m langen Kanals kann durch die Funktion f(x): 2x*e^{-0,25x^2} modelliert werden (0≤ X ≤ 5, 1LE = 1 m)

a) wie hoch ist ist die dammkrone? (ich weiß, dass muss man mit der ersten Ableitung=0 machen doch ich weiß nicht wie ich dann das mit dem e wegbekomme und einen Wert also Rechenweg wäre lieb :) )

b) bestimmen sie eine Stammfunktion von f. ( da muss man das doch mit der Produkt- & substitutionsregel machen aber ich hänge da immer fest also auch hier wäre ein weg toll )

c) berechnen sie das maximale Fassungsvermögen des Kanals ( das war doch das mit dem extremalproblem aber das kann ich leider nicht also ein weg wäre zum Verständnis toll)

d) der städtische Rasenmäher hat eine maximale Steigfähigkeit von 40°. Kann der Hang des Dammes damit bis zur Dammkrone befahren werden? ( damit komme ich nicht klar also ein weg wäre Supi denn ich bereite mich auf eine Klausur vor und brauche die Wege zum Verständnis)

vielen lieben dank :)

Answer 1

f(x) = 2·x·e^{- 0.25·x^2}
f'(x) = e^{- 0.25·x^2}·(2 - x^2)
f''(x) = e^{- 0.25·x^2}·(0.5·x^3 - 3·x)

a) wie hoch ist ist die dammkrone?

Maximum f'(x) = 0

e^{- 0.25·x^2}·(2 - x^2) = 0   

Da die e-Funktion nicht null werden kann, braucht nur die Klammer null werden.

2 - x^2 = 0
x = √2

f(√2) = 2·√2·e^{- 1/2} = 1.72 m

b) 

Schreib dir dazu einfach e^{- 0.25·x^2} und leite es ab. Und dann frag dich, was du verändern musst um auf f(x) zu kommen.

F(x) = - 4·e^{- 0.25·x^2}

c) Irgendwie sehe ich hier ja nur den Damm eines Kanals aber nicht den wirklichen Kanal.

d)

Wendepunkt f''(x) = 0

e^{- 0.25·x^2}·(0.5·x^3 - 3·x) = 0
x = √6 ∨ x = 0

arctan(f'(√6)) = arctan(-0.8925206405) = -41.75°

Damit liegt die maximale Steigung etwa über 40°

Comments

die erste Ableitung habe ich auch raus, aber wie sind Sie auf die zweite Abeleitung gekommen?

Gruß

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und was bedeutet  arctan(f'(√6)) = arctan(-0.8925206405) ?

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Was bedeutet denn f'(√6) ?

arctan ist die Umkehrfunktion vom Tangens. Auf dem Taschenrechner auch als TAN^{-1} bezeichnet.

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warum nimmt man tan und nicht sin oder cos ?

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Zeichne dir mal ein Steigungsdreieck auf.

Die Steigung m berechnet sich aus m = Δy / Δx

Dann gilt für den Steigungswinkel der Tangens als Gegenkathete / Ankathete

TAN(α) = Δy / Δx

α = ARCTAN(Δy / Δx)

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aaahh verstehe ! dankeschön