Kanalprofil Mathe 12. Klasse

Question

Aufgabe:

Das Querschnittsprofil eines 400 m
langen Kanals kann durch die Funktion
f(x) = 2x e^{-0,25x^2} modelliert werden.
(0 ≤ x ≤ 5, 1 LE = 1 m,)

a)

Berechnen Sie das maximale Fassungsvermögen des Kanals.
b)

Der städtische Rasenmäher hat eine maximale Steigfähigkeit von 40°.
Kann der Hang des Dammes damit bis zur Dammkrone befahren werden?

Problem/Ansatz:

Ich komme hier überhaupt nicht zurecht… kann mir bitte jemand helfen?

Answer 1

f(x) = 2·x·e^(- 0.25·x^2)

f'(x) = e^(- 0.25·x^2)·(2 - x^2) = 0 --> x = √2

F(x) = - 4·e^(- 0.25·x^2)

Querschnittsfläche

f(√2) = 2·√(2/e)

2·∫ (0 bis √2) f(x) dx = 2·(F(√2) - F(0)) = 2·(-2.426122638 - (-4)) = 3.148

A = (2·√2)·(2·√(2/e)) - 3.148 = 1.704

Volumen

V = 1.704·400 = 681.6 m³

Comments

Anstatt noch den letzten halben Liter anzugeben : Besser V = 681,8 m³

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Danke Gast hj2166

Hab meinen Fehler korrigiert. Danke fürs nachrechnen.

Answer 2

Hallo

1. Schritt Max von f bestimmen, denn nur bis da kann das Wasser reichen

2. Flache von 1 bis max über der Kurve  berechnen, dazu f(x) von y=ymax abziehen ,

3, Fläche verdoppeln da das Profil nur die Hälfte des Kanals beschreibt.

4. mit der Länge multiplizieren, um das Volumen zu bestimmen

Gruß lul

Answer 3

Zur Frage b):

Da ich aus einem Land komme in dem hohe Berge stehen habe ich gemerkt, dass Ziegen (auch Kühe, Berggänger, Schafe und Autos) zickzack steile Berge hochlaufen können. Dann ist die Steigung flacher. Der Aufgabenautor meint wahrscheinlich "... Hang des Dammes damit in seiner Falllinie bis zur Dammkrone ...".

Die erste Ableitung der Funktion ist die Steigung m, und arctan m ist der Steigungswinkel an dieser Stelle. Die Steigung darf maximal tan 40° sein, damit man mit dem Rasenmäher in der Falllinie hoch kommt.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sustenpass,_Kanton_Uri.jpg

(Beim Hang rechts im Bild der Aufgabe wird aus "maximal 40 Grad" ein "minimal -40 Grad".)