Kanalprofil berechnen?

Question

Das Querschnittprofil eines 400m langen Kanals ( siehe Bild) kann durch die Funktion f(x)= 2x* e^ -0,25^2 modelliert werden.

1. Wie breit ist die Wasserrinne?  ( Die Breite des Kanals ist eigentlich die Strecke vom vorderen Wendepunkt im 1.Quadraten zum vorderen Wendepunkt des 4. Quadraten oder?) wie im Bild zusehen ,aber komischerweise habe ich 2 wendepunkte undzwar einmal bei x1= 0 und x2=2,45, aber x1 dürfte doch gar nicht 0 sein

2. Berechnen Sie das maximale Fassungsvermögen des Kanals. ( 400m Queschnitt und die Breite von der Wasserrinne ?? mehr weiß ich nicht wie man den Volumen berechnet)

Answer 1

1. Wie breit ist die Wasserrinne?

Sicher von Hochpunkt zu Hochpunkt

f(x) = 2·x·e^{- 0.25·x^2}

f'(x) = e^{- 0.25·x^2}·(2 - x^2) = 0 --> x = √2

Breite: 2·√2 = 2.828 m

2. Berechnen Sie das maximale Fassungsvermögen des Kanals.

f(√2) = 1.716

A = ∫ (0 bis √2) (1.716 - 2·x·e^{- 0.25·x^2}) dx = 0.8529

V = 2 * 0.8529 * 400 = 682.3 m³

Das Fassungsvermögen beläuft sich auf ca. 682.3 m³.

Comments

erstmal vielen Dank für eure Antworten!

Der_Mathecoach.

ich habe noch eine Frage an dich, wieso hast du bei der 2. Aufgabe das Integral im Intervall von 0 bis √2 genommen und nicht von -√2 bis √2 ( also die Breite der Wasserrinne) ?.

und ohne Taschenrechner , wie soll ich die Stammfunktion von 1,716 errechnen, wenn ich alle Schritte einzeln mache?

Vielen Dank nochmal!

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Was weißt du über die Symmetrie von

f(x) = 2·x·e^{- 0.25·x^2}

Passt das zur angegebenen Funktion ? Also was vermutest du auch wenn das im Aufgabentext eventuell nicht erwähnt ist?

Stammfunktion von 1.716 ist 1.716x :)

Die e-Funktion leitet man mit Umkehrung der Kettenregel ab. georgborn hat das ja bereits vorgemacht sehe ich.

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hallo nochmal! Vielen Dank für die schnellen Kommentare!

Das Einzige was mich irritiert ist , warum ihr beide zwei verschiedene Lösungen habt.

georgborn benutzt für A= ∫ (0 bis √2) (2x•e^ -0,25x^2) dx= 1,57 m²

V= 2• 1,57 • 400 = 1259,101

bei der_mathecoach ist es irgendwie anders mit 1,716 im integral noch dazu.

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Du sollst berechnen wie viel Wasser der Kanal fasst. Überlege dir dazu welche Fläche du berechhnen musst und wie du das am besten hin bekommst.

Answer 2

In der Fragestellung ist wohl ein x im Exponenten vergessen worden.

~plot~ 2*x*e^{-0,25*x^2} ; [[ 0 | 5 | 0 | 2 ]] ~plot~

Bei Bedarf nachfragen.
Du sollst nicht unwissend sterben.

Comments

Stammfunktion von
f(x) = 2·x·e^{- 0.25·x^2}
bilden.

Eine e-Funktion muß als Stammfunktion eine e-Funktion haben.
Ich probiere aus
[ e^{-0.25*x^2} ] ´
e^{-0.25*x^2} * (-.25*2*x)
e^{-0.25*x^2} * (-0.5*x)
Stimmt ja schon fast mit f überein.
Anstelle -0.5*x soll dort stehen 2 * x
Also :
-0.5 * x * z = 2 * x
z = -4

[ -4 * e^{-0.25*x^2} ] ´ =  2·x·e^{- 0.25·x^2}

Das Integrieren kann auch mit der partiellen Integration durchgeführt werden.
Ich kann das bei Bedarf auch vorführen.

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Korrektur
Unglücklichsterweise habe ich als A die Fläche unterhalb
Kurve ( Erdreich ) berechnet.
Richtig ist : Rechteckfläche Kanalkrone mal ( x -Stelle Kanalkrone )
zunächst zu berechnen
1.716 * √ 2 = 2.427 m^2  und dann die zuvor berechnete Fläche abzuziehen
2.427 - 1.5738 = 0.853 m^2
Dies ist die rechte Seite des Kanals. Also noch
A = 2 * 0.853 = 1.706 m^2
V = 1.706 * 400 = 682.4 m^3

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Die Höhe des Erdreichs ist f ( x )

Die Dammkrone ist bei 1.716 m

Die Wasserhöhe an der Stelle x ist die Differenz zwischen
Dammkrone und Erdreich-Funktion
1.716 - f ( x )
1.716 - 2·x·e^{- 0.25·x^2}
Die Fläche ist
A = ∫ 1.716 - 2·x·e^{- 0.25·x^2} dx  zwischen x = 0 bis √2