Beweis einer prädikatenlogischen Formel

Question

Huhu, folgendes:

Wir sollen zu erst eine Formel aufstellen zur Aussage:

Für beliebige positive rationale Zahlen q und ε gibt es
zwei natürliche Zahlen n und m so, dass q < n/m <  q + ε gilt.

Hier hab ich schon Probleme. Hatte an so was gedacht:

∀q,ε ∈ Q > 0 :  ∃ n,m  ∈ Ν : (q<n/m) ∧ n/m<q+ε

Könnte hier jemand nach den Fehlern meiner Formel schauen? :)

Nun sollen wir beweisen, dass die Aussage wahr ist.

Ich hab durch ausprobieren herausgefunden, dass wenn ich q=1/2,  ε=1/4 , n=2 und m=3 habe, die Aussage
wahr ist.
Doch ich weiß jetzt nicht genau, wie ich das jetzt beweisen soll.

Freue mich für jede kleine Hilfe! :)

Saskia

Comments

Vllt kann ich ja damit argumentieren, dass n/m eine Rationale Zahl ist, und es natürlich eine Rationale Zahl zwischen 2 Rationalen Zahlen geben muss? :D

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Ich bei folgender Aufgabe so meine Schwierigkeiten:

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Für beliebige positive rationale Zahlen q und e gibt es zwei natürliche Zahlen n und m so, dass q < n/m < q + e gilt.

Formulieren Sie diesen Satz zunächst als pradikätenlogische Formel. 

Beweisen Sie dann, dass der Satz wahr ist.

Tipp: Probieren Sie zunächst ein paar Werte von q und " aus (z.B. q = 3/2 und e = 1 / 100 ). Zudem: Es wird viele passende Werte n und m geben, Ihre Konstruktion muss daher nicht unbedingt eindeutig vorschreiben, welche Werte zu wählen sind.

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Meine prädikatenlogische Formel:

∀(q, e) ∈ ℚ  ∃(n, m) ∈ ℕ: q < n/m < q + e

Da bin ich mir auch schon unsicher. Ich weiß nie wie ich das genau aufschreiben soll. Schon am anfang zwischen das ℚ und das ∃ muss ja bestimmt irgendwas dazwischen. Sieht auf jeden Fall irgendwie falsch aus.

Dann ist der Beweis irgendwie noch ein Problem. Wie kann ich das formal korrekt beweisen?

Meine Ansätze:

Ich denke, dass das immer dann wahr ist, wenn: 

 n = (q / e) * 10 (Aufrunden, oder wenn rund +1. Wenn m < 1, dann +2)

m = (1 / e) * 10 (Abrunden, außer wenn < 1, dann Aufrunden)

Dann müsste n / m immer zwischen n und n+e liegen. Aber wie beweise ich das?

Answer 1

q sei eine Rationale zahl mit q = a/b

ε sei eine rationale Zahl mit ε = c/d

a/b < n/m < a/b + c/d

2ad / 2bd < n/m < (2ad + 2bc) / 2bd

n/m kann jetzt z.b. (2ad + bc) / 2bd sein

Comments

Uff, ich blick hier jetzt nicht so ganz über.

Wie komm ich auf diese Zeile 2ad / 2bd < n/m < (2ad + 2bc) / 2bd  ?

Ist denn meine aussagenlogische Formel korrekt?

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> ∀q,ε ∈ Q > 0 :  ∃ n,m  ∈ Ν : (q<n/m) ∧ n/m<q+ε

∀q,ε ∈ Q⁺ :  ∃ n,m  ∈ Ν : ( q<n/m ∧ n/m<q+ε )

so sollte es richtig sein

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 >  Wie komm ich auf diese Zeile 2ad / 2bd < n/m < (2ad + 2bc) / 2bd  ?

in der Gleichung   von Mathecoach 

a/b < n/m < a/b + c/d    (du sollst zeigen, dass es passende m,n dazu gibt)
erweiterst du a/b mit 2d und c/d mit 2b:
q = \(\frac{2ad}{2bd}\) < \(\frac{m}{n}\) < \(\frac{2ad}{2bd}\) +  \(\frac{2bc}{2bd}\) = q + ε

wähle n = 2ad+bc und m = 2bd, dann hast du  q < m/n < q + ∈  mit passenden n,m gezeigt

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Gehe von 

a/b < n/m < a/b + c/d

aus. Fasse die Summe der Bruche rechts gemäß Bruchrechenregeln zusammen und erweitere den linken Bruch und den rechten Bruch mit 2. Der erhältst

2ad / 2bd < n/m < (2ad + 2bc) / 2bd

Ist das so verständlich? Wenn nicht, wo gibt es Schwierigkeiten?

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Doch doch, ich habs verstanden! Danke euch! :)