Hi,
sei $$ P(\lambda) = \sum_{k=0}^n a_k \lambda^k $$ ein Polynom vom Grade \( n \) mit reellen Koeffizienten und \( \lambda_1 \) eine Nullstelle des Polynoms. Dann gilt $$ P(\lambda_1) = \sum_{k=0}^n a_k \lambda_1^k = 0 $$ es folgt $$ P( \overline {\lambda_1} ) = \sum_{k=0}^n a_k \overline {\lambda_1}^k = \overline {\sum_{k=0}^n a_k \lambda_1^k} = 0 $$ weil die Polynomkoeffizienten alle reell sind. Also ist \( \overline {\lambda_1} \) ebenfalls eine Nullstelle von \( P(\lambda) \). D.h. man kann das Polynom \( P(\lambda) \) so schreiben
$$ P(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \overline {\lambda_1})Q(\lambda) $$ und \( Q(\lambda) \) ist ein Polynom vom Grade \( n-2 \). Der Term \( (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \overline {\lambda_1}) \) ist ein reelles Polynom wie man nachrechnen kann. Da \( P(\lambda) \) ein reelles Polynom ist ist auch \( Q(\lambda) \) ein reelles Polynom. D.h. falls \( \lambda_1 \) eine mehrfache Nullstelle ist, kann man das gleiche Verfahren nochmals anwenden. In Summe folgt, ist \( \lambda_1 \) eine k-fache Nullstelle, dann ist auch \( \overline \lambda_1 \) eine k-fache Nullstelle.
