zu 2) Da muss man ja so beginnen.
Seio eps>0. Gesucht ist delta>0 mit der Eigenschaft
| x - (-1) | < delta ⇒ | f(x) - f(-1) | < eps
wegen f(-1) = 1 also
| x + 1 | < delta ⇒ | f(x) - 1 | < eps. #
Schauen wir mal für die beiden Zweige der Fkt, wie man dann
zu einem eps das delta wählen muss:
Für x < -1 ( also |x| > 1 ) gilt
| f(x) - 1 | < eps
⇔ | (1 - x)/2 - 1 | < eps
⇔ | ( - x - 1) / 2 | < eps
⇔ | - x - 1 | < 2eps
⇔ | x+1 | < 2eps
Also reicht in diesem Fall delta = 2eps zu wählen, damit #
erfüllt ist.
Für x > -1 ( also |x| < 1 in der Nähe von x=-1 ) gilt
| f(x) - 1 | < eps
⇔ | x^2 - 1 | < eps
⇔ | (x-1)(x+1) | < eps
⇔ | (x-1) | * | (x+1) | < eps ##
nun ist aber für o > x > -1 ###
sicherlich | (x-1) | < 2 also ## erfüllt, wenn
2 * | (x+1) | < eps erfüllt ist, also
⇔ | x+1 | < eps / 2
und dies gilt mit delta = eps/2.
Also ist in beiden Fällen die Sache erfüllt, wenn sowohl
delta< eps/2 als auch delta< 2eps als auch ## erfüllt ist.
Wähle also delta = min { eps/2 ; 1 } und es passt.
