Beweise zu geraden und ungeraden Funktionen, deren Summen usw.

Question

Es sei D⊆ℝ und -D=D. Beweise:

a.) Sind f,g:D→ℝ zwei gerade (bzw. ungerade) Funktionen, so sind f±g:D→ℝ ebenfalls zwei gerade (bzw. ungerade) Funktionen.

b.) Ist die Funktion f:D→ℝ sowohl gerade als auch ungerade, so ist f=0 (d.h. f(x)=0 für alle x∈D).

Comments

Was ist bei euch -D?

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Gute Frage. Soll vielleicht heissen, dass der Definitionsbereich symmetrisch zur y-Achse ist.

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Ich hätte jetzt gedacht, -D ist die Menge aller Gegenzahlen der Elemente aus D. Aber deine Interpretation ergibt auch Sinn.

Answer 1

zu b)

h ist gerade bedeutet h(-x) = h(x) ∀x∈D

g ist ungerade bedeutet g(-x) = -g(x) ∀x∈D

f ist gleichzeitig gerade und ungerade bedeutet dann f(-x) = f(x) und f(-x) = -f(x) ∀x∈D.

Durch Gleichsetzen kommt man dann zu f(x) = -f(x) ∀x∈D.

Das kann nur dann der Fall sein, f(x) = 0 ∀x∈D ist.