Extremwertaufgabe f(x,y):= x(y-1) in der Menge K= {x^2 + y^2 ≤ 1}

Question

Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y) := x(y-1) in der Menge K = {x^2 + y^2 ≤1}

Comments

Nebenbedingung bitte noch vervollständigen in einem Kommentar. Erledigt.

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K = {x^2 + y^2 kleiner gleich 1}

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Sieht https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29+%3D+x%28y-1%29+ nicht wirklich so aus, wie wenn da viele lokale Extrema vorhanden wären.

Ich würde den Rand, also

y=√(1-x^2) und y= -√(1-x^2) in f(x,y) einsetzen und dann eine eindimensionale Extremalwertaufgabe zu lösen versuchen. Geht aber vermutlich über Symmetrieüberlegungen auch einfacher.

Answer 1

Lagrange Verfahren

f(x, y, k) = x·(y - 1) + k·(x^2 + y^2 - 1)

df / dx = 2·k·x + y - 1 = 0
df / dy = x + 2·k·y = 0
df / dk = x^2 + y^2 - 1 = 0

Das Gleichungssystem liefert die Lösung: x = - √3/2 ∧ y = - 1/2

x·(y - 1) = (- √3/2)·((- 1/2) - 1) = 3·√3/4

Skizze