Basis des Kerns und des Bildes bestimmen! Und wie bestimme ich die Dimension?

Question

Hi ich sitze jetzt schon 1,5h an der Aufgabe und würde mich über Hilfe freuen.

Zunächst muss ich den Kern von

(1 0 -1 -2 |  0

 0-1 -2 -3 | 0

 0 0  0  0 | 0)

bestimmen. (jede Spalte ist auch eine Zahl, | 0 ist die Ergebnisspalte)

In der Lösungsmenge habe ich dann 3 Variablen und ich weiß nicht wie ich davon auf die Basis kommen kann und bei welchen Variablen ich einen Wert einfach so einsetzen darf!

(1 2  3   4

 4 3   2   1

 3 1 -1 -3)

Wie kann ich hier die Anzahl der Dimensionen bestimmen? Die einzelnen Spalten der Matrix müssten doch das Bild bilden, da sie linear Unabhängig sind, richtig?

, falls sich jemand die Mühe macht!

Answer 1

Kern: Dein Gleichungssystem hat Lösungen für beliebige Werte von

x3 und x4 ezwa x3/s  und x4 = t Dann ist

x2 =  -2*s  -3*t     und  x1 = 1*s +2t   also

Lösungsvektor x = (  1*s +2t     ;   -2*s  -3*t      ; s  ; t  )

                  = s* ( 1 ; -2 ; 1 ; 0 ) + t * ( 2  ;  -3  ;  0   1  ) 

also ist      ( 1 ; -2 ; 1 ; 0 )     ,     ( 2  ;  -3  ;  0   1  )  eine Bais ,

also dim ( Kern ) = 2.

Bild: Stufenform gibt ein Zeile mit lauter 0en, also dim (Bild) = 2

und z.B die ersten beiden Spalten bilden eine Basis für das Bild.