Erzeuger der Sigma-Algebra der Borelschen Mengen

Question

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Es geht darum nachzuweisen oder zu widerlegen, dass die Menge

K := { {x} | x ∈ R}

ein Erzeuger der σ-Algebra der Borelschen Mengen ist.

Sei B = σ-Algebra der Borelschen Mengen

In der Teilaufgabe davor hab ich schon nachgewiesen, dass σ(K) = {A ⊂ R | A is abzählbar } ∪ {A ⊂ R | A^c ist abzählbar }

Argumentation:

Wenn K ein Erzeuger wäre, dann wäre B = σ(K) = {A ⊂ R | A is abzählbar } ∪ {A ⊂ R | A^c ist abzählbar }

Aber wenn ich ein beliebiges Intervall aus B nehme z.B. [a, b] ∈ B dann ist dieses Intervall ja überabzählbar und das Komplement dieser Menge ist im allgemeinen ja ebenfalls überabzählbar.. => Widerspruch

Ich bin hier etwas skeptisch, da ich mit einer 2. Argumentation etwas anderes rausbekommen habe..

Answer 1

> ... da ich mit einer 2. Argumentation etwas anderes rausbekommen habe..

Dann ist die zweite Argumentation falsch, oder du hast dir eine Fields-Medallie verdient.