Man betrachte die Teilmenge S:={v1,v2,v3}⊆ℝ4×1 und den davon erzeugten ℝ-Teilraum U:=⟨Sℝ⟩≤ℝ4×1, wobei:
v1=(1,2,3,4)T , v2=(4,3,2,1)T und v3=(1,1,1,1)T
Man gebe die ℝ-linear unabhängigen Teilmengen von S an, welche davon sind maximal?
Die Teilmengen von S sind ja nun:
{v1,v2,v3}; {v1,v2}; {v1,v3}; {v2,v3}; {v1}; {v2}; {v3} und {}
Die Teilmengen {v1}; {v2}; {v3} und {} sind ja offensichtlich linear unabhängig.
Bei den anderen Teilmengen von S muss man nun schauen, ob man durch die entsprechende Linearkombination der Elemente der Teilmengen den Nullvektor nur auf genau eine Weise erzeugen kann. Nämlich nur indem alle Koeffizienten der Linearkombination gleich 0 sind. Dementsprechend sind die Teilmengen {v1,v2}; {v1,v3}; {v2,v3} linear unabhängig und {v1,v2,v3} linear abhängig. Dabei sind {v1,v2}; {v1,v3}; {v2,v3} maximal, da durch das jeweilige Hinzufügen des noch fehlenden Vektors von S die Teilmengen linear abhängig werden. Liege ich damit soweit richtig?
Der nächste Teil der Aufgabenstellung lautet nun wie folgt: Man gebe die in S enthaltenen ℝ-Erzeugendensysteme von U an; welche davon sind minimal? Man bestimmte dimℝ(U), und gebe die in S enthaltenen ℝ-Basen von U an?
Hier ergeben sich bei mir Verständnisprobleme: 1. Was ist der Unterschied zwischen einem Erzeugendensystem und einer Basis? und 2. Was ist die Dimension von U?
zu 1) Liegt der Unterschied zwischen der Basis und dem Erzeugendensystem darin, dass wir mit der Basis eines Vektorraums alle weiteren Elemente des Vektorraumes erzeugen können (sprich, dass die Elemente des Erzeugendensystems linear unabhängig sind und die Anzahl der Vektoren nicht kleiner als die Dimension von U ist) und dies für ein Erzeugendsystem nicht zwingend notwendig ist. Also ist {v1,v2,v3} ein Erzeugendensystem aber keine Basis?
zu 2) Ist dimℝ(U)=3? Also spannt der Untervektorraum ⟨Sℝ⟩≤ℝ4×1 einen ℝ3×1-Teilraum in ℝ4×1 auf? oder ist dimℝ(U)=4 und es gibt kein Basis von U da eben ein Vektor in unserem Erzeugendensystem fehlt, um alle weiteren Elemente von U erzeugen zu können?
