R-Modulhomomorphismus und -isomorphismen

Question

Jeder Vektorraum hat eine Basis. Dies verallgemeinert sich nicht auf Moduln über beliebigen Ringen: Zeigen Sie:
a) Ist R ein Körper und M ein endlich erzeugter R-Modul, so gibt es einen R-Modulisomorphismus R^m→ M.
b) Ist R ein beliebiger Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul, so gibt es nicht immer einen Isomorphismus R^m→M. (Finden Sie ein Gegenbeispiel.)
c) Ist R ein beliebiger Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul, so gibt es einen surjektiven R-Modul-Homomorphismus R^m→M .

Ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Ich habe das Gefühl, ich bin auf nem völlig falschen Dampfer.
Meine bisherigen Überlegungen:

a) Ist R ein Körper, si ist jedes R-Modul ein R-Vektorraum. Außerdem ist bekannt: Invertierbare R-Modulhomomorphismen nennt man R-Modulisomorphismus. Es ist also zu zeigen, dass ein invertierbarer Vektorraumhomomorphismus existiert. Aus LinA 1 wissen wir: Ist f bijektiv, so existiert f ^-1 als
Vektorraumhomomorphismus. Weise also nach, dass R^m und M von denselben Vektoren erzeugt werden. M ist laut Aufgabenstellung endlich erzeugt, also gilt span(m1,....,mn)=M <=> m1,....,mn sind linear unabhängig <=> a1=....=an=0
Und dann fällt mir absolut nichts mehr ein.

b) Die Multiplikation Z/4 x Z/2 → Z/2, (a,b) ↦ ab ist wohldefiniert und erfüllt die Modulgesetze. Andersherum funktioniert es aber nicht. Wenn man Z/2 x Z/4 → Z/4 definieren möchte, die eine Modulstruktur ergibt, so muss 1a =a definiert werden. Dies führt aber auf a=1a=3a=a+a+a=3a, was in z/4 nicht stimmt.

c) Dazu fällt mir nichts mehr ein

Was haltet ihr von meinen bisherigen Überlegungen? Irgendwelche Tipps für den Rest? Schonmal vielen Dank!

 

Answer 1

also hier ein paar Tipps:

Zu a)
Zunächst einmal ist folgendes falsch: span(m1,....,mn)=M <=> m1,....,mn sind linear unabhängig
Wenn du weißt, dass m1,...,mn den Modul M aufspannen, heißt das nicht zwingend, dass sie linear unabhängig sind.

Allerdings ist der Ansatz schon gar nicht schlecht. Da du es hier sogar mit einem R-Vektorraum zu hast könntest du nach und nach Vektoren entfernen, sodass eine Teilmenge von {m1,...,mn} übrig bleibt, die dann tatsächlich linear unabhängig ist. Dann hast du schon eine Basis von M gefunden.
Nun schau dir an, welche Dimension M dann hat und suche dir den passenden R^m.

 

Zu b)

Z/2Z ist ein endlich erzeugtes Z Modul. Warum kann es keinen Isomorphismus zwischen Z^m und Z/2Z geben?

Zu c)

Versuche folgenden Satz anzuwenden:
Ist f:M->N ein R-Modulhomomorphismus, so gibt es einen Isomorphismus zwischen M/ker(f) und Im(f). Ein kleiner Tipp dafür noch: Versuche f so zu wählen, dass Im(f)=M ist und überlege dir, warum es dann nach dem vorherigen Satz auch einen surjektiven R-Modul-Homomorphismus gibt.

Comments

"Versuche f so zu wählen, dass Im(f)=M ist" dann ist doch bereits f surjektiv. Wenn klar ist, wie man f wählt, müsste der Fragesteller die Frage nicht stellen, oder?

definiere f: R^m --> M dadurch, dass du die Vektoren e_1 bis e_m auf die Erzeuger des Moduls wirfst. dann müsste f surjektiv sein