konservativ Kurvenintegral

Question

könnte jemanden mir helfen, ich hab die Integrationen berechnet aber ich weiß nicht wie man
zeigt, ob f  konservativ ist oder nicht.

Die erste Int. = 2pi

Die zweite = pi

Und wie bei c) konnte ich nix machen.

Answer 1

die Integrale über die Kurven κ₁ und κ₂ hast du richtig berechnet.

für c) gilt:

κ₃: x(t) = 1-t ; y(t) =0  ; t ∈ [0,2] (Geradenstück auf der x-Achse)

dx^→= (-1,0)^T*dt

--> ∫κ₃ f^→(x,y)*dx^→=∫₀²(0,1-t)^T*(-1,0)^T*dt=∫₀² 0*dt=0

Anfangs --> Endpunkte :

κ_1: (1,0)^T->(1,0)^T

κ_2: (1,0)^T-->(0,1)^T

κ_3: (1,0)^T-->(-1,0)^T

Hier fällt auf, das κ₁ eine geschlossene Kurve darstellt, da Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen.

Ein Feld ist genau dann konservativ, wenn das Integral über eine geschlossene Kurve verschwindet, also 0 wird.

Bei κ₁ kam aber als Ergebnis 2*π heraus. Somit ist f^→(x,y) kein konservatives Feld.

Comments

Danke Dir es war toll aber ich hab ein paar fragen:

1. wie hast du die  Anfangs- und Endpunkt bekkomen, hast du eingesetzt?,

wenn ja dann k2 auch (1,0) -> (1,0) oder?

2. k2 und k3 sind auch keine konservativen Felden oder?

Danke Dir nochmal

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Um die Anfangs und Endpunkte zu bestimmen, setzt man jeweils Anfangs und Endwert des Parameters t in die gegebene Parametrisierung ein:

Bsp a)

Anfangspunkt setze t=0 ein:

x= cos(0)=1

y= sin(0)= 0

Endpunkt:t=2π

x=cos(2π)=1

y=sin(2π)=0

Bei b) geht t nur bis π ,deshalb unterscheiden sich Anfangs und Endpunkt

Achtung: κ beschreibt nur den Weg den man wählt, in allen drei Fällen ist f ^→(x,y)  das betrachtete Feld.

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Ach ja stimmt, sorry die war dumme Frage.