Matrixnorm Aufgabe, Eigenwerte, zeigen: ||A||=max(-a1,an)

Question

Die Definitionen für die Matrixnorm und euklidische Norm sind mir aus der Linearen Algebra bekannt, ich weiß aber trotzdem nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Danke schonmal für jede Antwort. :)

Answer 1

Hi,

schau mal hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Spektralnorm

Comments

Die Eigenschaften einer Spektralnorm sind mir bekannt. In der Linearen Algebra gab es auch letztens eine Aufgabe dazu. Was ich nicht verstehe ist, dass die Matrixnorm das Maximum von -a1 oder an sein soll. Normalerweise ist es doch der maximale Eigenwert und damit werden alle Eigenwerte mit einbezogen, oder nicht?

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Ich geh davon aus, dass das ein Schreibfehler ist. Schau mal bei dem Link unter Spezialfääle, Hermitesche Matrizen nach. Da ist der Beweis.

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Nein, das ist kein Schreibfehler. Die Spektralnorm einer symmetrischen Matrix ist der betragsmäßig größte Eigenwert. Und weil die Eigenwerte in deiner Aufgabe der Größe nach geordnet sind, kommen dafür nur \(-\lambda_1\) und \(\lambda_n\) in Frage.

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okay das ist natürlich nachvollziehbar, danke schonmal dafür! also muss ich um die Aufgabe zu lösen "einfach nur" die Eigenschaft der Spektralnorm beweisen?

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Hi Nick, da hast Du Recht, ich war schon bei den positiv definiten Matrizen. Ansonsten reicht meiner Meinung der Beweis bzgl der Spektralnorm.