a) Substituiere u = x^2
∫ x/(x^4 + 1) dx
Subst. u = x^2 --> du = 2·x dx --> dx = du/(2·x)
= ∫ x/(u^2 + 1) du/(2·x)
= 1/2·∫ 1/(u^2 + 1) du
= 1/2·ARCTAN(u) + C
= 1/2·ARCTAN(x^2) + C
b) Substituiere u = ln(x)
∫ 1/(x·LN(x)^2) dx
Subst. u = LN(x) --> du = 1/x dx --> dx = x·du
= ∫ 1/(x·u^2)·x du
= ∫ 1/(u^2) du
= ∫ u^{-2} du
= - 1/u + C
= - 1/LN(x) + C
z = x^2z ´ = 2 * x = dz / dxdx =dz / ( 2 * x )
∫ x / ( x^4 + 1 ) dx∫ x / ( z^2 + 1 ) * 1 / ( 2 * x ) dz∫ 1 / 2 * ( 1 / ( z^2 + 1 ) dz
1 / 2 * ∫ ( 1 / ( z^2 + 1 ) dz1 / 2 * arctan ( z )1 /2 * arctan ( x^2 )
1 /2 * arctan ( x2 ) zwischen -∞ und 0 0 - ( 0.7854 )
zum Vergleich:
Ich habe für das rechte Integral erhalten:
1/ln(2)
≈ 1.44
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