berechnen sie folgende uneigentliche Integrale

Question

Hallo Forum,

brauche unbedingt hilfe bei diesen Aufgaben,

Answer 1

a) Substituiere u = x^2

∫ x/(x^4 + 1) dx

Subst. u = x^2 --> du = 2·x dx --> dx = du/(2·x)

= ∫ x/(u^2 + 1) du/(2·x)

= 1/2·∫ 1/(u^2 + 1) du

= 1/2·ARCTAN(u) + C

= 1/2·ARCTAN(x^2) + C

b) Substituiere u = ln(x)

∫ 1/(x·LN(x)^2) dx

Subst. u = LN(x) --> du = 1/x dx --> dx = x·du

= ∫ 1/(x·u^2)·x du

= ∫ 1/(u^2) du

= ∫ u^{-2} du

= - 1/u + C

= - 1/LN(x) + C

Answer 2

z = x^2
z ´ = 2 * x = dz / dx
dx =dz / ( 2 * x )

∫ x / ( x^4 + 1 ) dx
∫ x / ( z^2 + 1 ) * 1 / ( 2 * x ) dz
∫ 1 / 2 * ( 1 / ( z^2 + 1 ) dz

1 / 2 * ∫ ( 1 / ( z^2 + 1 ) dz
1 / 2 * arctan ( z  )
1 /2 * arctan ( x^2 )

Comments

1 /2 * arctan ( x² )  zwischen -∞ und 0
 0 - ( 0.7854 )

Answer 3

zum Vergleich:

Ich habe für das rechte Integral erhalten:

1/ln(2)

≈ 1.44