Basis vom Kern bestimmen.

Question

Wir betrachten die lineare Abbildung T:ℝ⁴-->ℝ mit

                  1 2 2 3

mat (T) =   2 3 5 7

                 3 5 7 10

Bestimmen sie eine  Basis vom Kern (T) und begründen sie, warum es sich um eine Basis handelt.

Comments

Du meinst  " T:ℝ⁴-->ℝ^4 mit"

oder hat "mat" eine spezielle Bedeutung? 

Wenn nicht: Bestimme erst mal den Kern der Matrix. 

Answer 1

                  1 2 2 3

mat (T) =   2 3 5 7

                 3 5 7 10

also Zielraum IR^3.

Bringe mal auf Zeilenstufenform, gibt z.B.

3 5  7 10
0 1 -1 -1
0  0  0   0

Daran siehst du für den Kern:

x3, x4 frei wählbar etwa s und t und

x2 = s + t

3x1 = -5x2 - 7x3 - 30x4   also

3x1 = -5(s+t) - 7s- 30t  =  -12s  - 35t

x1 =  -4s - 35t/ 3     also  Lösungsvektor :

(  -4s - 35t/ 3   ;   s + t  ;  s   ;  t  ) =  s* ( -4 ; 1 ; 1 ; 0 ) + t * ( -35/3 ; 1 ; 0 ; 1 )

Der Kern wird also von  z.B. von ( -4 ; 1 ; 1 ; 0 )  und  ( -35/3 ; 1 ; 0 ; 1 ) erzeugt,

und diese sind offenbar ( siehe 3. und 4. Komponente ) lin. unabh.,

also eine Basis des Kerns.

Da der Definitionsbereich IR^4 ist, hat damit das Bild(T) die Dimension 2 und

wird demnach von 2 linear unabhängigen Spalten der Matrix mat(T) erzeugt,

also etwa den ersten beiden.  Diese bilden also eine Basis des Bildes.