beweis linear unabhängig.

Question

Sei T :ℝ^k-->ℝ^k eine lineare Abbildung und seien v₁,...v_l ∈ℝⁿ. Es ist bekannt, dass T(v₁),...T(v_l) linear unabhängig sind. Zeigen sie: v₁,.....v_l sind linear unabhängig.

Answer 1

dazu schaut man sich die Gleichung ∑_i=1^k a_i v_i= 0 . Wendet man nun auf beiden Seiten T an so folgt:

T(∑_i=1^k a_i v_i)=T(o)=0 . Aufgrund der Linearität von T folgt ∑_i=1^k a_i T(v_i)= 0 , da T(v_i) aber alle linear unabängig sind folgt für alle i=1,...,k a_i=0. Damit sind auch v_i linear unabhängig.